Dada la existencia de un elemento de identidad, ¿qué otros axiomas se necesitan para implicar la existencia de un elemento inverso?

Supongo que esta es una pregunta sobre qué se necesita para convertir un monoide en un grupo.

Esta es una pregunta confusa. La diferencia entre un monoide y un grupo es la existencia de inversos, y el axioma que usas es el axioma (llámalo como quieras) que requiere que existan inversos. Me pregunto si hay alguna trampa de alguna manera.

Estoy seguro de que hay diferentes formas de establecer el axioma adicional, pero no se me ocurre una forma de descomponerlo razonablemente en más de un axioma. Alternativamente, aunque seguramente hay formas tortuosas de combinarlo con los otros axiomas, si ya tiene los otros axiomas, también podría tratar de capturar los nuevos requisitos de forma aislada, y es difícil mejorar en “cada elemento tiene un inverso”.

Por ejemplo, uno puede requerir para cada elemento un inverso a la izquierda y un inverso a la derecha. Es una observación muy fácil que

[matemáticas] (g_R ^ {- 1}) = ((g_L ^ {- 1}) g) (g_R ^ {- 1}) = (g_L ^ {- 1}) (g (g_R ^ {- 1}) ) = (g_L ^ {- 1}) [/ math]

entonces el inverso izquierdo debe ser el mismo que el inverso derecho. Esto lo convierte en un ejercicio bastante elemental para los estudiantes, pero si ese es el resultado, hace que el “axioma” original se vea perversamente ofuscado.

¿Qué tipo de respuesta estabas buscando?

Si intenta atacar la pregunta con generalidad loca, es posible que haya respuestas locamente restrictivas. Qué tal si

El único elemento es el elemento de identidad.

Es un nuevo axioma que garantiza la existencia de inversas, pero no puedo imaginar que sea lo que querías.

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