Si no me equivoco, esto fue un problema del UKMT Senior Maths Challenge hace algunos años. Si de ahí lo obtuviste, entiendo tu pregunta, ya que la solución en el libro es, creo, bastante insatisfactoria.
Recuerde que su número [matemática] N [/ matemática] puede escribirse en el formulario
[matemáticas] 2 \ cdot 10 ^ 0 + 2 \ cdot 10 ^ 1 + \ cdots + 2 \ cdot 10 ^ {2002} + n \ cdot 10 ^ {2003} + 8 \ cdot 10 ^ {2004} + 8 \ cdot 10 ^ {2005} + \ cdots + 8 \ cdot 10 ^ {4007} \ tag * {} [/ math]
- ¿Cómo demuestro que esta es una topología? [Math] \ mathscr {T} = \ {U \ subseteq \ mathbb {N} \ mid \ mathbb {N} - U \ hspace {2mm} \ textrm {es finito o} \ hspace {2mm} 1 \ in (\ mathbb {N} - U) \} [/ math] ¿Cómo demuestro que es Hausdorff?
- ¿Cuál es el coeficiente de [matemáticas] x ^ {20} [/ matemáticas] en la expansión de [matemáticas] (x ^ 2 + \ cdots + x ^ 6) ^ 5 [/ matemáticas]?
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Observe también que los poderes de [math] 10 [/ math] forman la secuencia recurrente
[matemáticas] 1, 3, 2, 6, 4, 5, 1, 3, \ cdots \ tag * {} [/ matemáticas]
cuando está escrito en [math] \ mod 7 [/ math]. Por eso podemos escribir
[matemáticas] N \ equiv 2 (1 + 3 + 2 + \ cdots + 2 + 6 + 4) + 5n + 8 (1 + 3 + 2 + \ cdots + 4 + 5) \ pmod {7} \ tag * { }[/matemáticas]
Esto se debe a que tenemos [math] 2002 \ equiv 4 \ pmod {6} [/ math] para poder calcular los valores del módulo [math] 7 [/ math] de esas potencias de [math] 10 [/ math]. Esto se simplifica a
[matemática] N \ equiv 2 (-5) + 5n +8 (0) \ equiv -3 + 5n \ pmod {7} \ tag * {} [/ matemática]
Se nos dice que [math] N \ equiv 0 \ pmod {7} [/ math] para que podamos resolver [math] n [/ math] para obtener [math] n \ equiv 2,9 \ pmod {7} [ / matemáticas] que significa [matemáticas] n = 2 [/ matemáticas] o [matemáticas] n = 9 [/ matemáticas].
Por supuesto, este problema se puede responder de manera más sucinta al notar que cualquier cadena consecutiva de [matemática] 6k [/ matemática] dígitos iguales es divisible por [matemática] 7 [/ matemática], pero no creo que esto sea necesariamente un obvio observación para hacer.