Sí, ¡y también es muy fácil de entender!
Considere un conjunto de [matemáticas] n [/ matemáticas] números distintos, [matemáticas] 1 [/ matemáticas] a [matemáticas] n [/ matemáticas] digamos.
El número de permutaciones de estos números se puede definir como el número de órdenes diferentes en las que se pueden organizar.
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Entonces, como un experimento mental, imagine que tenemos [matemática] n [/ matemática] espacios ordenados (cajas) en los que colocar los números [matemática] 1 [/ matemática] a [matemática] n [/ matemática]:
[matemáticas] \ begin {array} {cccccc} 1 & 2 & 3 & \ cdots & n-1 & n \\\ boxed {\ phantom {5}} & \ boxed {\ phantom {5}} & \ boxed {\ phantom {5}} & \ cdots & \ boxed {\ phantom {5}} & \ boxed {\ phantom {5}} \ end {array} \ tag * {} [/ math]
Los números encima de los cuadros aquí solo etiquetan sus posiciones en la línea.
Ahora imagine colocar los números [matemática] 1 [/ matemática] a [matemática] n [/ matemática] en esas casillas: Comience con el número [matemática] 1 [/ matemática], ¿en cuántas casillas diferentes puede ponerla? [matemáticas] n [/ matemáticas] ¿verdad?
Bueno, ahora tienes los números [matemática] 2 [/ matemática] a [matemática] n [/ matemática] sobrantes, así que preguntemos: “ para cada una de las ubicaciones [matemática] n [/ matemática] de [matemática] ] 1 [/ math] ¿cuántas ubicaciones de [math] 2 [/ math] hay? ”
Dado que, para cada una de las ubicaciones [math] n [/ math] de [math] 1 [/ math], quedan [math] n-1 [/ math] cajas restantes, por lo tanto tiene [math] n-1 [ / math] posibles ubicaciones de [math] 2 [/ math].
En total, entonces, hay [math] n \ times (n-1) [/ math] ubicaciones de los dos primeros números.
A continuación, para cada una de las ubicaciones [matemáticas] n (n-1) [/ matemáticas] de [matemáticas] 1 [/ matemáticas] y [matemáticas] 2 [/ matemáticas] queremos preguntar cuántas ubicaciones de [matemáticas] 3 [/ math] hay en los cuadros restantes [math] n-2 [/ math].
Esto es simple, hay casillas [matemáticas] n-2 [/ matemáticas], así que eso es [matemáticas] n-2 [/ matemáticas] posibles ubicaciones de [matemáticas] 3 [/ matemáticas] para cada una de las [matemáticas] n ( n-1) [/ math] ubicaciones de [math] 1 [/ math] y [math] 2 [/ math]. Por lo tanto, hay [matemáticas] n (n-1) \ veces (n-3) [/ matemáticas] ubicaciones posibles de [matemáticas] 1 [/ matemáticas], [matemáticas] 2 [/ matemáticas] y [matemáticas] 3 [/ math] en nuestros espacios [math] n [/ math].
¿Puedes ver la formación del patrón? Una vez que se hayan colocado todos los números [math] n [/ math] tendremos el número total de permutaciones posibles:
[matemáticas] n (n-1) (n-2) (n-3) \ cdots 1 \ tag {Permutaciones de 1 a n} [/ matemáticas]
Este producto recibe un nombre especial porque se usa con tanta frecuencia: se llama factorial y se escribe con un signo de exclamación, a saber:
[matemáticas] n! = n (n-1) (n-2) (n-3) \ cdots 1 \ tag * {} [/ matemáticas]
Esto se dice “[matemática] n [/ matemática] factorial”.
Aquí hay una tabla de los primeros números factoriales:
[matemáticas] \ begin {array} {| c | c | c | c | c | c | c | c | c | c |} \ hline \ mathbf {n} y 0 y 1 y 2 y 3 y 4 y 5 y 6 y 7 y 8 \\\ hline \ mathbf {n!} y 1 y 1 y 2 y 6 y 24 y 120 y 720 y 5040 y 40 \, 320 \\\ hline \ end {array} \ tag * {} [/ math]
Como puede ver, ¡el número de permutaciones crece rápidamente!
Tenga en cuenta cuidadosamente que [math] 0! [/ Math] se define como [math] 1 [/ math], esto ayuda con ciertas otras fórmulas que involucran factoriales pero también es consistente con la definición recursiva de factorial: Para todos los enteros [math] n \ ge 1 [/ math]:
[math] n! = n \ times (n-1)! \ tag {Definición recursiva de factorial} [/ math]
entonces para [matemáticas] n = 1 [/ matemáticas]
[matemáticas] 1! = 1 \ veces 0! \ etiqueta * {} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ implica 1 = 0! \ etiqueta * {} [/ matemáticas]
Hay otras formas de razonar el número de permutaciones: una forma considera posibles ubicaciones de números en el cuadro [matemáticas] 1 [/ matemáticas] luego la caja [matemáticas] 2 [/ matemáticas] etc., otra considera posibles ubicaciones de números sucesivos en el espacios entre los números ya colocados. Pero, independientemente de cómo lo haga, siempre obtendrá [matemáticas] n! [/ Matemáticas] como respuesta.
