¿Es la raíz de la ecuación cuadrática [matemática] x ^ 2 – ax – b ^ 2 = 0 [/ matemática] real o compleja; si es real, racional o irracional?

[matemáticas] x ^ 2-ax-b = (x- \ frac {a} {2}) ^ 2-b ^ 2-a ^ 2/4 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] (x- \ frac {a} {2}) ^ 2 = b ^ 2 + \ frac {a ^ 2} {4} [/ matemáticas]

[matemáticas] (x- \ frac {a} {2}) ^ 2 = \ frac {4b ^ 2 + a ^ 2} {4} [/ matemáticas]

[matemáticas] x- \ frac {a} {2} = \ pm \ frac {\ sqrt (4b ^ 2 + a ^ 2)} {2} [/ matemáticas]

Por lo tanto, x es racional si [matemática] a / 2 [/ matemática] es racional y [matemática] 4b ^ 2 + a ^ 2 [/ matemática] es el cuadrado de un número racional. es decir, un triángulo rectángulo de lados “cortos” ay 2b tiene una hipotenusa racional.

NOTA : Para evitar mucha confusión ya que voy a usar la fórmula cuadrática para responder a este problema / pregunta matemática, reescribamos nuestra ecuación cuadrática dada de la siguiente manera: x² – Ax – B² = 0.

La fórmula cuadrática, x = [- b ± (b² – 4ac) ^ (½)] / (2a), puede usarse no solo para resolver cualquier ecuación cuadrática que se exprese en la forma estándar: ax² + bx + c = 0 , donde a, byc son números reales y a ≠ 0, pero también se puede usar para decirnos la naturaleza de las raíces de una ecuación cuadrática, es decir, 1.) dos raíces reales, 2.) una raíz real , o 3.) dos soluciones complejas no reales. La expresión bajo el signo radical de la raíz cuadrada, b² – 4ac, puede decirnos qué tipo de raíces tendremos para una ecuación cuadrática dada, en este caso, x² – Ax – B² = 0:

1.) Si b² – 4ac <0, entonces una ecuación cuadrática tiene dos soluciones complejas no reales .

2.) Si b² – 4ac = 0, entonces una ecuación cuadrática tiene una raíz real o, dicho de otro modo, tiene dos raíces reales que son iguales , lo que se llama una raíz doble.

3.) Si b² – 4ac> 0, entonces una ecuación cuadrática tiene dos raíces reales .

En nuestro caso particular, x² – Ax – B² = 0, a = 1, b = ‒A, y c = – B², y

b² – 4ac = (- A) ² – 4 (1) (- B²)

= (- A) ² + [(- 4) (1) (- B) ²]

Mirando el primer término, (‒A) ² = A² siempre es no negativo ya que cualquier número real A cuadrado es positivo o cero.

Luego, el segundo término, – 4 (1) (- B²) = ‒4 (‒1) (B²) = (4) (B²) = 4B² que, de nuevo, siempre es no negativo ya que cualquier número real B al cuadrado es ya sea positivo o cero; por lo tanto, en nuestro caso, la expresión crítica,

b² – 4ac = A² + 4B² ≥ 0.

Por lo tanto, para nuestra ecuación cuadrática original, tenemos dos raíces reales que son iguales si b² – 4ac = A² + 4B² = 0 o dos raíces desiguales reales si b² – 4ac = A² + 4B² > 0.

Nuestras dos raíces reales se encuentran de la siguiente manera:

x = [- b ± (b² – 4ac) ^ (½)] / (2a)

x = {- (- A) ± [(‒A) ² – 4ac] ^ (½)} / [2 (1)]

x = [A ± (A² + 4B²) ^ (½)] / 2

En cuanto a si las raíces reales son racionales o irracionales, esto dependerá de cuáles sean los valores de los coeficientes a, byc en la ecuación cuadrática original, por ejemplo, si tenemos la ecuación cuadrática x² – 2x – 3 = 0, donde a = 1, b = ‒A = ‒2, y c = – B² = ‒5, luego sustituyendo en la fórmula cuadrática, obtenemos x = 3 y x = ‒1; por lo tanto, ambas raíces son números racionales ; sin embargo, si tenemos la ecuación cuadrática x² – 4x – 37 = 0, donde a = 1, b = ‒A = – 4, y c = – B² = ‒37, entonces sustituyendo en la fórmula cuadrática, obtenemos x = 2 – (41) ^ (½) yx = 2 + (41) ^ (½); por lo tanto, ambos son números irracionales .

depende del discernimiento

si b ^ 2 -4ac es positivo, entonces la raíz es real, negativa, la raíz es compleja, 0, entonces la raíz es igual

En este caso, el discernimiento es positivo como (a ^ 2 + 4b ^ 2> 0)

Entonces la raíz es real

Ahora, en lo que respecta a que las raíces son racionales o irracionales, solo depende del valor de los coeficientes en la ecuación cuadrática dada …

Espero que hayas entendido … 🙂 Intenté hacerlo tan simple como pude …