Existe una noción de categoría interna: si me das una categoría C, entonces puedo plantear una noción de categoría en C, que tiene los siguientes datos:
- un objeto O en C, considerado como la “colección de objetos”
- un objeto M en C, considerado como la “colección de morfismos”
- dos mapas, syt, de M a O, considerados como decir cosas en M qué objetos son sus fuentes y objetivos
- un mapa i de O a M, que le dice a los objetos qué flechas son identidades
- un mapa desde el retroceso de syt hasta M, llamado composición
- Satisfacer una lista de axiomas análogos a los axiomas para una categoría “pura”.
¿Para qué sirven estos? Entre otras cosas, una categoría interna a la categoría de conjuntos es una categoría pequeña (porque hay un conjunto de objetos en lugar de una clase, o un conjunto grande, o cualquier base que prefiera), y esto nos dice que puede definir un teoría de categorías dentro de una teoría de conjuntos como ZFC (o cualquier teoría en la que modeles Establecer). El problema es que te encuentras con problemas de tamaño. Por ejemplo, ninguna categoría de conjuntos tal como pensamos en ellos puede ser un objeto en sí mismo, debido a la paradoja de Cantor. Esto también lleva al hecho de que su categoría de grupos no será pequeña, y los espacios topológicos, y los anillos, etc. Por lo tanto, la mayoría de los teóricos de categorías se conforman con un enfoque más autónomo de la teoría de categorías (creo que Mac Lane los llama metacategorías), que se basa en una lista más conservadora de axiomas. Para leer más sobre esto, lo remito al primer capítulo de Categorías para el matemático de trabajo .
¡Espero que esto ayude!
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