¿Cuáles son las diferencias entre topología diferencial, geometría diferencial, topología algebraica y geometría algebraica? ¿En qué orden se suele aprender sobre ellos?

Soy una persona de 4 múltiples, por lo que mi idea de cómo encajan estos temas se inclina hacia una clase de 4 múltiples con una propiedad simplemente conectada.

Definitivamente comienzas con la topología algebraica, quiero decir que primero quieres encontrar la estructura más cruda (la más básica y básica) y ese es el tipo de homeomorfismo (topológico) de M. (En simplemente conn. Cpt cerrado M ^ 4 están ‘completamente’ determinados por la forma de intersección – Una forma bi-lineal uni-modular simétrica no degenerada en la segunda (co) homología de M ^ 4)

¡Bueno!

Ahora va a Topología diferencial y encuentra alguna cirugía para realizar en su múltiple M.
Lo que debe hacer es tratar de encontrar ciertos submúltiples, como el toro incrustado en su M con auto-intersección 0. Luego, puede realizar lo que se llama una cirugía de nudo sacando nbhd tubular. de ese toro y pegándolo con diffeomorfismo que incrusta el nudo elegido dentro de tu M ^ 4.

Genial, está acelerado y esta operación es una operación topológica diferencial. (Conserva las estructuras complejas lisas o incluso simplécticas)

Quieres comprobar qué pasó con su tipo suave. ¡Por lo general, cuando haces algo tan extremo como la cirugía de nudos, cambia la estructura diferenciable (tipo liso) mientras mantiene fijo el tipo topológico! (Comprueba que el tipo topológico no ha cambiado al mirar de nuevo el formulario de intersección)

Entonces, necesitas un invariante suave.
Bueno, obtienes este pesado arsenal de Geometría diferencial + PDE = Teoría del medidor. Digamos que tienes Invariante de Seiberg-Witten, que es una función del conjunto de estructuras Spin ^ C a números enteros.

Su cirujano M ^ 4, tiene clases básicas de Seiberg-Witten no triviales, mientras que el ‘estándar’ (simplemente con 4 múltiples para que M ^ 4 sea homeomorfo) solo tiene clase SW trivial => su cirugía ha creado un exótico 4 -colector. (Homeomórfico pero no difeomorfo)

¿Dónde entra la geometría compleja?

La geometría compleja está bien estudiada y proporciona el entorno, el paisaje y la geografía de su comercio. La teoría de Superficies complejas le brinda dónde trabajará y las técnicas de Geometría compleja que son más o menos Geometría algebraica le brindan las herramientas para comprender la comprensión ‘geométrica’ de sus operaciones topológicas. (volar los puntos, el teorema de Bezout para encontrar intersecciones, la fórmula de Riemann-Hurwitz para encontrar divisores de ramificación y así sucesivamente).

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Todos esos temas tienen fuertes interrelaciones entre ellos.

La geometría diferencial es la más fácil de definir: el objeto básico a estudiar son los múltiples y la estructura diferencial. Se ramifica en geometría simpléctica (relacionada originalmente con la mecánica pero ahora vinculada de alguna manera a la geometría algebraica), múltiple riemanniano (básicamente nociones de distancias euclidianas en múltiples, siendo la curvatura la noción clave). Las nociones importantes son paquete de vectores (y las nociones relacionadas de clases características). La mejor referencia en mi opinión es Geometría, Topología y Física, Segunda edición de Mikio Nakahara. Es un libro práctico en el sentido de que está destinado a una audiencia de físicos y explica todas las nociones anteriores de una manera clara.

La topología algebraica es el estudio de espacios topológicos y sus invariantes. El primer objeto fundamental son los grupos de homología / cohomología que se pueden entender si conoce álgebra lineal. El segundo objeto fundamental es el grupo Fundamental que permite describir rutas en una variedad. La teoría de la homotopía es de alguna manera una generalización de ambos aspectos. Estoy de acuerdo en que el libro Algebraic Topology de Allen Hatcher es una referencia muy adecuada.

La topología diferencial no existe realmente como un sujeto independiente. Es el estudio de la topología de múltiples diferenciables. Por ejemplo, algunos colectores tienen varias estructuras diferenciables.

La geometría algebraica se ha expandido en los últimos 100 años en todas las direcciones. Es muy complejo si quieres estudiarlo en general. Sin embargo, probablemente no desee hacer eso, por lo que le daré varios puntos de entrada independientes al tema.

• El libro Principios de la geometría algebraica: Phillip Griffiths, Joseph Harris le dará el aspecto teórico complejo de la misma. Utiliza y explica análisis complejos, paquetes de vectores, cohomología. Su capítulo sobre las superficies de Riemann es bueno, pero creo que el de las superficies complejas es malo. También tiene un capítulo sobre el Grassmannian.
• Otro punto de entrada es el lado algebraico con ecuaciones, etc. Para eso, la mejor corriente es el álgebra conmutativa: con una vista hacia la geometría algebraica: David Eisenbud. Es un libro agradable pero el centro es realmente el álgebra, no la geometría.
• La variedad algebraica se puede definir sobre cualquier campo, por sus ecuaciones. Entonces la noción de puntos se vuelve problemática. Un buen libro simple que explica el caso unidimensional con aplicaciones interesantes para la teoría de la codificación es Algebraic Function Fields and Codes: Henning Stichtenoth.
• Toda la teoría de alguna manera se origina en el caso unidimensional sobre C y el espacio de módulos, es decir, su parametrización. Una serie de tres libros de Temas en teoría de funciones complejas, funciones abelianas y funciones modulares de varias variables: CL Siegel le dará una explicación legible de la teoría.

En general, la estrategia incorrecta es tratar de aprender todas esas teorías solo. Es mejor hacerlo en grupo. Mejor también para tratar de alcanzar un solo objetivo, es muy fácil distraerse con todas esas nociones y perder el enfoque.

Quiero escribir esta respuesta teniendo en cuenta el hecho de que los estoy aprendiendo de forma horizontal durante unos meses. Los estoy aprendiendo porque los usaré como herramientas para otros trabajos en otros campos. Pero sí tengo interés en la física en general. Pero como requisito principal, primero quiero aprender la caja de herramientas. Estoy pasando por la teoría Gauge en este momento, comenzando desde formas diferenciales. Tengo algunos antecedentes, habiendo tomado cursos en Análisis, Álgebra Lineal y muchas Estadísticas. Seguiré actualizando la respuesta a medida que avance. Espero que no sea una mala idea para otros veteranos que han escrito minuciosamente excelentes respuestas aquí, dando a otros una hoja de ruta para abordar este esfuerzo. Si alguien quiere unirse para hacer esto como una comunidad pequeña, póngase en contacto.

Estoy usando el libro de Mikio Nakahara en este momento.