¿El teorema del punto fijo de Brouwer realmente significa que después de revolver el café siempre hay al menos un punto que está en el mismo lugar que comenzó?

el teorema es válido para la taza de café porque la taza de café satisface las condiciones del teorema, el teorema también es aplicable a este disco, y puede pensar en una taza de café como un número infinito de discos apilados encima de entre sí, tal vez eso aclarará su confusión, aunque no será válido si hay un “agujero” en el disco, como este, pero sabemos que hay espacios u “agujeros” entre 2 átomos y 2 moléculas, y michael en este video, él mismo admite que hay moléculas en una taza de café, y también hay espacios o agujeros entre esas moléculas, pero las moléculas son muy pequeñas pero muy numerosas y los espacios o agujeros entre ellas también son muy pequeños , por lo tanto, al combinar todos estos hechos, podemos concluir que hay un pequeño porcentaje de “error” como si hubiera una probabilidad de 0.000000000000001% de que realmente agitaste completamente el café y cada molécula o “punto” se haya movido a un nuevo ubicación y violando así el teorema , él mismo en el video admite que dentro de un grado de error el teorema se mantendrá más o menos.

Esto probablemente no sea del todo cierto, pero, de nuevo, pocas cosas lo son. (Debería estar razonablemente cerca de la verdad.) La razón es simple: el teorema del punto fijo de Brouwer solo se aplica a una situación muy particular en matemática pura. Una diferencia similar en la precisión entre la realidad y las matemáticas surge en todas las ciencias naturales. Veamos qué dice realmente el teorema.

Teorema del punto fijo de Brower. Dada cualquier función continua [matemática] f: X \ hookrightarrow X [/ matemática], donde [matemática] X [/ matemática] es un conjunto convexo, compacto en un espacio topológico, existe un punto fijo, que es un punto [matemático ] x_0 \ en X [/ math] tal que [math] f (x_0) = x_0 [/ math].

Revolver el café parece una función aproximadamente continua de un espacio en sí mismo. El espacio del café parece bastante agradable en el sentido de que debería ser aproximadamente convexo y compacto. Por lo tanto, parece que el teorema debería mantenerse hasta cierto punto. El problema es con todos los “aproximadamente”. Es realmente difícil describir el espacio y la acción de agitar con la suficiente precisión como para decir con certeza que cumplen con las definiciones muy rígidas de convexo, compacto o continuo. (Por cierto, se supone que la topología en el espacio es la obvia).

Por lo tanto, es probable que sea cierto en gran medida, porque las matemáticas son lo más cercano que tenemos al absoluto, y la situación física coincide muy bien, pero pequeñas desviaciones del bonito modelo que construimos para imitar la realidad pueden conducir al fracaso del teorema, incluso si esperamos que sea aproximadamente cierto.

Los comentarios originales de Brouwer se mantienen en gran medida, y es una buena intuición de la situación (véase el teorema del punto fijo de Brouwer).

No puedo ver ese video en este momento, pero si especifica “átomos”, entonces está mal. Si dice “puntos”, es correcto. (Anexo: Lo vi. Michael lo hace exactamente como siempre). El teorema de Brouwer es específicamente sobre funciones continuas, y no tiene sentido hablar de funciones continuas en conjuntos discretos como el conjunto de átomos en una taza de café. El teorema solo tiene sentido si imagina que el café es una especie de fluido perfecto de puntos, como un campo eléctrico o algo así, o algo que ni siquiera podemos estar seguros de que realmente exista físicamente en el mundo debido a las limitaciones de medición y cuantización.

Lo que podría decir es esto: por Brouwer FPT, al menos una molécula estará dentro de d de su punto de partida, donde d es la distancia máxima que se puede alcanzar entre las moléculas.