¿Cuál es el valor de la serie [matemáticas] \ frac {n} {1} + \ frac {n} {2} + \ frac {n} {3} + \ ldots + \ frac {n} {n}? [ /matemáticas]

Al igual que muchas secuencias matemáticas, tampoco se comporta como su nombre. Es una secuencia armónica . Ver una serie armónica es de naturaleza divergente, es decir, su suma tiende a infinito si el número de términos es innumerable / infinito.

Para el problema actual: Saque n de todos los términos, -> n (1/1 + 1/2 + 1/3 +… + 1 / n). Dentro del paréntesis hay una serie armónica elemental.

Caso 1: Si n -> infinito; Suma = infinito.

Si n = 1000 -> Suma = 1000 * 7.48 = 7480

Si n = 5000 -> Suma = 5000 * 9.094 = 45470

Si n = 10000 -> Suma = 10000 * 9.78 = 97800 (LA SUMA NUNCA AUMENTA)

Tenga en cuenta que la suma de la secuencia elemental correspondiente a 1000, 5000, 10000 términos son: 7.48, 9.094 y 9.78 (marcado en negrita en el cálculo). Aunque está aumentando al ritmo de los caracoles, pero está aumentando (Importante) . Cuando hablamos de términos infinitos, la suma será infinita.

Caso 2: n no está definido: la fórmula no está definida en forma aritmética. Se requerirá un enfoque de cálculo.

Por cierto, no veo un área de trabajo práctica donde se utilicen progresiones armónicas. Debe haber algunas aplicaciones interesantes pero traseras para encontrar algún ingenio práctico.

Como han señalado muchas otras respuestas, no hay una forma cerrada para esta suma. Sin embargo, es igual a [matemáticas] n \ cdot H (n) [/ matemáticas], donde [matemáticas] H (n) = 1 + \ frac {1} {2} + \ frac {1} {3} + \ cdots + \ frac {1} {n} [/ math] es el número armónico [math] n [/ math].

Curiosamente, esta es la solución al famoso Problema del colector de cupones, que pregunta cuánto tiempo tomaría recolectar cupones distintos [matemáticos] n [/ matemáticos] si recibiera al azar uno de esos cupones [matemáticos] n [/ matemáticos] cada día .

n / 1 + n / 2 + n / 3 +… + n / n
= n * (1/1 +1/2 + 1/3 +… + 1 / n)
1/1 + 1/2 + 1/3 +… + 1 / n es una función armónica. No hay una manera fácil de simplificar esto más adelante. Tendrá que calcular este término por su cuenta.
O si está buscando una aproximación, puede leer aquí


http://mathworld.wolfram.com/Har


Bueno, eso depende del valor de n. No hay fórmulas de forma cerrada para esto, lo que significa que no puede derivar la expresión, en la que simplemente pone n y obtiene el valor de la suma de la serie. Bueno, esto sucede porque la serie es divergente (su suma se expande a medida que aumenta n) si hubiera sido convergente, habría sido posible encontrar fórmulas de forma cerrada como en el caso de un GP, ​​cuando -1

Pero siempre es posible encontrar un límite en la suma. Por ejemplo, definitivamente puede decir que n

Quieres calcular

[matemáticas] n \ cdot {\ sum_ {k = 1} ^ {n} \ frac {1} {k}} [/ matemáticas]

que es una especie de serie armónica truncada.

Puedes usar el hecho de que

[matemáticas] \ sum_ {k = 1} ^ {n} \ frac {1} {k} \ sim {ln (n) + \ gamma} [/ matemáticas]

donde [math] \ gamma [/ math] es la constante de Euler-Mascheroni [1] y es aproximadamente [math] 0.5772156649… [/ math]

Entonces, una buena aproximación para su suma sería

[matemáticas] n (ln (n) + \ gamma) [/ matemáticas].

Notas al pie

[1] Constante Euler-Mascheroni – Wikipedia

Esta es esencialmente una serie armónica, que no tiene una suma general definida. Ver la serie Armónica (matemáticas) para más detalles.