¿X ^ (½) = √x?
Sí , x ^ (½) = √x, y he aquí por qué.
La definición de la raíz cuadrada de un número es uno de los dos factores iguales que, si se multiplican juntos, producen ese número.
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La expresión √x designa la raíz cuadrada positiva de x, siempre que x> 0; por lo tanto, según la definición de raíz cuadrada, √x significa: “El número positivo que cuando se multiplica por sí mismo, es decir, se usa como factor dos veces, producirá x, el número bajo el signo radical, como el producto”.
Por las propiedades de los exponentes, tenemos la propiedad “El producto de dos potencias con la misma base”: bᵐ (bⁿ) = bᵐ + ⁿ, donde “b” es cualquier número real positivo y “m” y “n” son reales números; En consecuencia, podemos decir que:
[x ^ (½)] [x ^ (½)] = x ^ (½ + ½)
= x¹
= x por la definición de exponente integral positivo.
Acabamos de demostrar que x ^ (½) es uno de los dos factores iguales que, cuando se multiplican juntos, producen x como producto; por lo tanto, según la definición de raíz cuadrada, x ^ (½) es igual a la raíz cuadrada positiva de x; En otras palabras, x ^ (½) = √x.
Para el caso de x = 0 , √0 = 0 ya que 0 (0) = 0.
Además, [0 ^ (½)] [0 ^ (½)] = 0 ^ (½ + ½) = 0¹ = 1 (0) = 0
Por lo tanto, 0 ^ (½) = √0 .
Una segunda prueba puede ser por la “Definición de b ^ (1 / n)”:
“Para un número real b y un entero positivo n, donde n ≥ 2,
b ^ (1 / n) = ⁿ√b, siempre que exista ⁿ√b “.
Por lo tanto, para el caso de n = 2, tenemos:
b ^ (½) = ²√b
b ^ (½) = √b .
