¿Cuál es la derivada de [math] x! [/ Math]?

El dominio de [math] f (x) = x! [/ Math] es el conjunto [math] \ mathbb {N} \ cup \ {0 \} [/ math], por lo que es una función discreta. No encontramos la derivada de una función discreta, porque una derivada es de naturaleza continua. En cambio, encontramos la diferencia finita de funciones discretas.

Como han dicho otras personas, la función Gamma es una extensión continua de la función factorial. Entonces, si desea diferenciar una versión continua de la función factorial, busque la respuesta de Richard Morris. Si desea encontrar la diferencia finita de la función factorial en sí, busque la respuesta de Jayesh Lalwani.

Lo que otros dijeron. Factorial se define solo para enteros.

Esto es lo que se trazaría factorial:

O, tramado como:

Claro, podría conectar los puntos de esta manera:

Pero esta última no es [matemáticas] y = f (x) = x! [/ Matemáticas] porque esta tabla significaría que puedo calcular [matemáticas] y = 3.5! [/ Matemáticas] que no puedo porque, eso no es la definición de lo que es factorial.

La derivada y la integral solo son aplicables en funciones continuas .

En la forma más simple, técnicamente, uno podría calcular la diferencia [matemáticas] a! -B! [/ Matemáticas] y la relación [matemáticas] (a! -B!) / (Ab) [/ matemáticas] pero solo cuando [matemáticas ] (a – b) \ in \ mathbb N [/ math] y [math] a \ in \ mathbb N [/ math] y [math] b \ in \ mathbb N [/ math].

Nota al margen: Curiosidad interesante en [matemáticas] y = 3! [/ Matemáticas]

El operador factorial se define solo en el conjunto de números enteros. Por lo tanto, [math] x! [/ Math] no es continuo e implica que no es diferenciable.

Sin embargo, hay una función dulce llamada función Gamma, y ​​es básicamente una extensión del factorial en no solo enteros.

Se define como tal:

[matemáticas] \ Gamma (z) = \ int_ {0} ^ {\ infty} {x ^ {z-1} e ^ {- x} dx} [/ matemáticas]

Es importante tener en cuenta que la función Gamma tiene un desplazamiento de argumento de 1.

[matemáticas] \ Gamma (n) = (n-1)! [/ matemáticas]

La función Gamma de hecho tiene una derivada.

La enésima derivada de [math] \ Gamma (x) [/ math] es

[matemáticas] \ frac {d ^ n} {dx ^ n} \ Gamma (x) = \ int_ {0} ^ {\ infty} {t ^ {x-1} e ^ {- t} (\ ln {t }) ^ ndt} [/ math]

Entonces, la derivada de primer orden de [math] \ Gamma (x) [/ math] es

[matemáticas] \ Gamma ‘(x) = \ int_ {0} ^ {\ infty} {t ^ {x-1} e ^ {- t} \ ln {t} dt} [/ matemáticas]

¡Espero que esto haya respondido a tu pregunta!

¡La fórmula de Stirling ofrece un enfoque satisfactorio de x! (error 0.001% para x> 18), por lo que lo mismo se aplica a su derivada:

Como experimentador, encontré la relación

lo que da muy buenos enfoques para cada número real x> 0. Puede usarse para acercarse rápidamente a x de la ecuación x! = N con el método de Newton.

La (x!) ‘También se puede abordar de la manera clásica:

Como la función factorial solo se define para valores enteros, no tiene sentido definir una derivada (que requiere funciones continuas).

Sin embargo, puede considerar la función Gamma

[matemáticas] \ Gamma (t) = \ int _ {0} ^ {\ infty} x ^ {{t-1}} e ^ {{- x}} \, dx. [/ math]

esto concuerda con la función factorial para todos los enteros [math] \ Gamma (m + 1) = m! [/ math]. La derivada de esto se puede encontrar y resulta ser

[matemáticas] \ Gamma ‘(m + 1) = m! \ left (- \ gamma + \ sum _ {{k = 1}} ^ {m} {\ frac {1} {k}} \ right) [/ matemáticas]

donde [math] \ gamma [/ math] es la constante de Euler-Mascheroni = 0.57721 …

Ya respondí: mis respuestas y las de David Joyce a ¿Hay una operación inversa para los factoriales (como la división es la inversa de la multiplicación)?

La función Gamma generaliza factorial a reales, y es continua y diferenciable.

También relacionado: ¿Hay alguna forma de integrar un factorial?

El factorial se define solo para números naturales. Entonces no hay derivada. La forma estándar de extender el factorial a [math] \ mathbb {R} [/ math] es la función Gamma:

[matemáticas] \ Gamma (x) = \ int_0 ^ {+ \ infty} t ^ {x-1} e ^ {- t} dt [/ matemáticas]

Tiene la propiedad de que [math] x! = \ Gamma (x + 1) [/ math]

Por lo tanto, lo más cercano a la derivada factorial es [math] \ Gamma ‘(x + 1) [/ math]

Vea este artículo para la función Gamma.

El problema aquí es que la función factorial solo se define en enteros no negativos, con la formulación recursiva:

[matemáticas] n! = n (n-1)! \ qquad \ text {con} \ qquad 0! = 1 [/ matemáticas]

Por lo tanto, no tiene una derivada.

Sin embargo, tiene un análogo continuo, la función Gamma, para lo cual se cumple:

[matemáticas] \ frac {\ Gamma (x + 1)} {\ Gamma (x)} = x [/ matemáticas]

Entonces para enteros tenemos:

[matemáticas] \ frac {\ Gamma (n + 1)} {\ Gamma (n)} = n = \ frac {n!} {(n-1)!} [/ matemáticas]

de donde puedes derivar que:

[matemáticas] \ Gamma (n + 1) = n! [/matemáticas]

La derivada de esta función factorial ‘continua’ es:

[matemáticas] \ frac {d} {dx} (\ Gamma (x + 1)) = \ Gamma (x + 1) \ psi (x + 1) [/ matemáticas]

Donde [math] \ psi [/ math] es la función polygamma.

Wolfram Alpha

La función factorial solo se define para enteros no negativos, por lo que no es diferenciable.

Hay una función llamada Función Gamma, que se define para todos los reales positivos (y la mayoría de los reales negativos, pero lo ignoraré). Se puede demostrar que:

Gamma (x + 1) = x! para cualquier entero no negativo x.

Y la función Gamma es diferenciable para cada real positivo. Pero su derivada es difícil de expresar.

Si desea los detalles sangrientos de la función Gamma, vaya a la página Wolfram Alpha: Motor de conocimiento computacional.

[matemáticas] \ displaystyle \ psi_0 (x + 1) = \ frac {d \ left (\ ln \ Big (\ Gamma (x + 1) \ Big) \ right)} {dx} = \ frac {\ Gamma ‘( x + 1)} {\ Gamma (x + 1)} \ tag {1} [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle x! = \ Gamma (x + 1) \ implica x! ‘ = \ frac {d (x!)} {dx} = \ Gamma ‘(x + 1) \ tag {2} [/ math]

[matemáticas] \ text {de (1) y (2), se deduce que: -} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {d (x!)} {dx} = \ Gamma (x + 1) \ psi_0 (x + 1) = \ frac {d \ left (\ ln \ Big (\ Gamma (x + 1) \ Big) \ right)} {dx} \ Gamma (x + 1) [/ math]

Función gamma

Función Digamma

Tenga en cuenta que el factorial se define para enteros, es decir, no tiene sentido hablar de definir 5.1. o 34.3248 !; solo puedes definirlo para enteros. Dado que la derivada es, por definición, el límite de la razón incremental, tenga en cuenta que, hablando “tontamente”, tendría muchas discontinuidades de salto en su “función factorial”, digámoslo así. Entonces, para el caso, sería imposible alcanzar el límite, que se requiere para que exista la derivada, ¡ya que no podría acercarse a 5 !, por ejemplo, al alcanzar 5 en el eje x desde 4.998, luego 4.999 , o 5.002, luego 5.001 …
Concluyendo, no tiene sentido hablar de una derivada de factoriales, que es una función discreta, no diferenciable.

No existe, porque el factorial se define solo para enteros no negativos. Hay una generalización de factorial para cubrir números reales, se llama función gamma, entonces esta es una historia diferente.

La pregunta realmente no tiene sentido, ya que la diferenciación en el sentido habitual se define solo en funciones de variables reales, mientras que el factorial se define solo en enteros.

Típicamente, uno extendería el factorial a los números reales usando la función Gamma [matemática] \ Gamma (z) = \ int_0 ^ \ infty x ^ {z-1} e ^ {- x} dx [/ matemática] tal que [ matemáticas] n! = \ Gamma (n + 1) [/ matemática]. La derivada de eso es fácil de hacer pero no tiene (que yo sepa) tiene una buena forma:

[matemáticas] \ frac {\ partial \ Gamma (z + 1)} {\ partial z} = \ frac {\ partial} {\ partial z} \ int_0 ^ \ infty x ^ ze ^ {- x} dx = \ int_0 ^ \ infty \ ln (x) x ^ ze ^ {- x} dx [/ math]

y = x! Es una función discreta. Y encontrar la derivada de una función discreta no tiene sentido, porque es de naturaleza continua.

Además, para funciones discretas, encontramos diferencias finitas.

En otras palabras, y = x! No es diferenciable.

Para derivar una función [math] f (x) [/ math] tiene que ser continua, [math] x! [/ Math] no es continua; Tenemos que extender la función factorial en los reales.

Para hacerlo, podemos usar la función Gamma, definida como [matemática] \ Gamma (z) = \ displaystyle \ int_ {0} ^ {\ infty} x ^ {z-1} e ^ {- x} \ mathrm {d } x [/ matemáticas]

La función Gamma tiene una propiedad muy interesante: [matemática] \ Gamma (z) = z \ Gamma (z-1) [/ matemática]

Usando esa identidad podemos decir que [math] z! = \ Gamma (z + 1) [/ math]

Ahora que hemos extendido el Factorial a las Reales podemos intentar diferenciarlo; Lamentablemente, la derivada no se puede expresar con funciones elementales.

La derivada de [math] \ Gamma (z + 1) [/ math] es

[matemáticas] \ dfrac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} z} \ Gamma (z + 1) = \ Gamma (z + 1) \ psi ^ {(0)} (z + 1) [/ matemáticas]

Donde [math] \ psi ^ {(n)} (z) [/ math] es la derivada [math] n ^ {\ text {th}} [/ math] de la función Polygamma, definida como [math] \ psi (z) = \ dfrac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} z} \ ln (\ Gamma (z)) = \ dfrac {\ Gamma ‘(z)} {\ Gamma (z)} [/ matemáticas]

Espero que esto ayude un poco 🙂

Para definir x! para x continuo, en lugar de solo valores enteros, requiere romper la función Gamma, cuya derivada es difícil en otros términos, y se llama simplemente Gamma-prime.

Okay
Lo primero que debes aprender sobre los diferenciales es que no puedes diferenciar cada función. Una función debe ser continua y diferenciable en su dominio.
La función factorial es una función discreta. Se define solo para enteros no negativos. Entonces, F (x) = x! Es una función no diferenciable.

Si está hablando de que x es un número entero, puede usar el método de diferencia finita

f ‘(x) = f (x) – f (x-1)
(x!) ‘= x! – (x-1)!
= x (x-1)! – (x-1)!
= (x-1) (x-1)!

Primero tienes que extender el rango de x a los números reales: luego terminas con la función gamma.

La derivada no es muy buena, pero se describe aquí:

https://en.m.wikipedia.org/wiki/ …

Por cierto: la función gamma no es la única representación del factorial a los números reales, pero es probablemente la mejor.