En general, los grupos de homología suelen ser más fáciles de calcular que los grupos de homotopía. Entonces, la idea general es tratar de usar grupos de homología para contarnos algo sobre los grupos de homotopía. Hurewicz es el resultado más básico en esta dirección.
Si primero restringimos los espacios conectados que no están simplemente conectados, Hurewicz dice que [math] H_1 [/ math] es la abelianización de [math] \ pi_1 [/ math]. Asumiendo que sabemos [matemáticas] H_1 [/ matemáticas], esto no determina completamente [matemáticas] \ pi_1 [/ matemáticas], pero tampoco es nada.
A continuación, si restringimos los espacios conectados que también están simplemente conectados, Hurewicz dice que el primer grupo de homología distinto de cero es isomorfo al primer grupo de homotopía distinto de cero, es decir, si [matemáticas] H_1 = H_2 = \ dots = H_k = \ text {trivial} [ / math] y [math] H_ {k + 1} [/ math] no es trivial, entonces [math] \ pi_1 = \ pi_2 = \ dots = \ pi_k = \ text {trivial} [/ math] y [math] \ pi_ {k + 1} = H_ {k + 1} [/ matemáticas].
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