Las funciones
Se dice que una función [math] f: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R} [/ math] es continuamente [math] k [/ math] veces diferenciable (o simplemente de la clase [math] C ^ k [/ math]) si su derivada [math] k [/ math] -th existe y es continua. Es bastante fácil generalizar esta definición a las funciones [math] f: \ mathbb {R} ^ n \ to \ mathbb {R} ^ m [/ math]. Generalmente tomaría “orden finito de suavidad” para significar “de clase [matemáticas] C ^ k [/ matemáticas] para algún entero positivo [matemáticas] k [/ matemáticas]”. Puede haber otros significados, pero tomemos este .
Algunas notas
- ¿Alguna vez pensaste en volver a las matemáticas?
- ¿Cómo se determina si un número es divisible por 7?
- ¿Por qué los polinomios hacen las formas que hacen?
- ¿Qué le puedo hacer a mi cerebro para poder ser un buen matemático?
- En una clase de 25 estudiantes, 17 vivían con ambos padres, 21 vivían con sus madres y 20 vivían con sus padres. ¿Cuántos vivían sin ninguno de los padres?
- Se dice que una función continua es de clase [matemática] C ^ 0 [/ matemática]. No es necesariamente diferenciable. Una función que sea de clase [matemática] C ^ 0 [/ matemática] pero no [matemática] C ^ 1 [/ matemática] no se consideraría en absoluto fluida. Solo piense en la función de valor absoluto [math] \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R} [/ math], que tiene una esquina aguda en [math] (0,0) [/ math].
- Una función de la clase [math] C ^ k [/ math] también es de la clase [math] C ^ \ ell [/ math] para cualquier [math] \ ell \ leq k [/ math]. Es por eso que especifiqué “pero no [matemáticas] C ^ 1 [/ matemáticas]” en la nota anterior.
- Se dice que una función infinitamente diferenciable es de clase [math] C ^ \ infty [/ math]. Una función suave se define como una función de la clase [matemática] C ^ \ infty [/ matemática]. Agregar el modificador “de orden finito” es lo que nos permite considerar [matemática] C ^ k [/ matemática] para [matemática] 0 <k <\ infty [/ matemática] (vea la sección sobre múltiples a continuación).
- Hay otras clases de diferenciabilidad. Por ejemplo, [math] C ^ \ omega [/ math] se refiere a funciones analíticas, y también existen nociones de diferenciabilidad fraccional.
Colectores
Originalmente preguntaste sobre múltiples. Los manifolds se pueden definir en términos de mapas entre subconjuntos abiertos del espacio euclidiano. Estos mapas se llaman gráficos , y puede recordar cómo funciona esto:
- en esta respuesta Quora mía o
- en Wikipedia
El significado predeterminado de “múltiple suave” es “múltiple definido por los gráficos [math] C ^ \ infty [/ math]”. Pero la mayor parte de la teoría de las variedades lisas pasa bien si reemplaza [math] C ^ \ infty [/ math] por [math] C ^ k [/ math] para otros valores de [math] k [/ math]. Solo debes tener cuidado, de vez en cuando cambiar lo que [matemática] k [/ matemática] depende de lo que quieras hacer. Generalmente usamos [math] C ^ \ infty [/ math] por dos razones:
- [math] C ^ \ infty [/ math] las funciones (respectivamente, múltiples) pueden aproximarse a [math] C ^ k [/ math] funciones (respectivamente, múltiples) arbitrariamente bien, y
- en el caso [math] C ^ \ infty [/ math], no tenemos que hacer un seguimiento de [math] k [/ math] vs. [math] k + 1 [/ math], [math] k + 2 [/ matemáticas], etc.
La única fuente que conozco que desarrolla la teoría detrás de esto cuidadosamente es Fundamentos de manifiestos diferenciables y grupos de mentiras de Frank Warner.
