Integración. Supongamos que queremos algún objeto [math] \ omega [/ math] que pueda “integrarse” en varias regiones de una variedad para obtener un número [1]. Voy a argumentar que tal cosa debe ser una forma [2]. Como requisito básico, deberíamos poder construir mapas [math] \ Delta \ to \ int_ \ Delta \ omega [/ math] desde regiones a números que son “lineales” en el sentido de que
[matemáticas] \ int _ {\ Delta_1 + \ Delta_2} \ omega = \ int _ {\ Delta_1} \ omega + \ int _ {\ Delta_2} \ omega [/ matemáticas]
donde [math] \ Delta_1 + \ Delta_2 [/ math] es la región dada por la unión de [math] \ Delta_1 [/ math] y [math] \ Delta_2 [/ math], suponiendo que son (en su mayoría) disjuntos [3 ]
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Ahora comience con alguna región [matemática] \ Delta [/ matemática], e imagine dividirla en muchos paralelogramos muy pequeños [matemática] \ Delta_i [/ matemática] (o la generalización dimensional superior apropiada). Según nuestro requisito básico anterior, deberíamos poder reconstruir [math] \ int_ \ Delta \ omega [/ math] sumando los números [math] \ int _ {\ Delta_i} \ omega [/ math], por lo que es suficiente para ser capaz de “integrar” nuestro objeto sobre pequeños paralelogramos. Cada paralelogramo [math] \ Delta_i [/ math] está atravesado por un conjunto de pequeñas rutas (a lo largo de sus bordes). Y como se indica en la información de la pregunta, una ruta pequeña es lo mismo que un vector tangente [4]. Entonces, la integración sobre [math] \ Delta_i [/ math] es un mapa de una colección de vectores tangentes [math] v_ {ki} [/ math] a números
[matemáticas]
\ int _ {\ Delta_i} \ omega = \ omega (v_ {1i}, \ dots, v_ {ni})
[/matemáticas]
donde [math] n [/ math] es la dimensión del paralelogramo sobre el que estamos integrando. Si [math] \ omega [/ math] es suficientemente “suave”, entonces la integración sobre un pequeño paralelogramo debe ser proporcional al área de ese paralelogramo. No necesariamente tenemos (o necesitamos) una métrica, por lo que no sabemos cuál es esa área. Pero independientemente, las propiedades del área de paralelogramo bajo la suma y multiplicación de los vectores de expansión deben convertirse en propiedades de nuestro mapa:
Linealidad del área en cada vector de expansión [5]:
[matemáticas]
\ omega (v_1, \ dots, \ lambda v_k, \ dots, v_n) = \ lambda \ omega (v_1, \ dots, v_k, \ dots, v_n)
[/matemáticas]
[matemáticas]
\ omega (v_1, \ dots, v_k + u_k, \ dots, v_n)
[/matemáticas]
[matemáticas]
\ qquad = \ omega (v_1, \ dots, v_k, \ dots, v_n) + \ omega (v_1, \ dots, u_k, \ dots, v_n)
[/matemáticas]
Y también invariancia del área bajo corte:
[matemáticas]
\ omega (v_1, \ dots, v_k + v_j, \ dots, v_n)
[/matemáticas]
[matemáticas]
\ qquad = \ omega (v_1, \ dots, v_k, \ dots, v_n) \ qquad (k \ neq j)
[/matemáticas]
Usando esta última propiedad, junto con la linealidad, se puede demostrar que [math] \ omega [/ math] es antisimétrica bajo el intercambio de dos vectores de expansión. Pero un mapa lineal antisimétrico de vectores tangentes a números es precisamente una forma.
Uno puede integrar un objeto más general (como un multivector) solo si tiene una forma de construir mapas lineales antisimétricos de vectores tangentes a números usando su objeto, es decir, si puede integrarlo en un pequeño paralelogramo. Posiblemente, la forma más sencilla de hacerlo es convertir su objeto a una forma diferencial utilizando una métrica si hay una disponible. A veces, otras estructuras en el colector también pueden ayudar.
Diferenciación. Hay muchos tipos de diferenciación: en general, uno puede diferenciar casi cualquier objeto en una variedad que desee, suponiendo que tenga algo llamado “conexión”. Lo bueno de la operación [math] d [/ math] para formularios es que no requiere ninguna estructura adicional. Voy a ignorar la mayor parte de esta historia, y solo hablaré de por qué la operación [math] d [/ math] se define naturalmente en formas diferenciales, y por qué una cosa análoga no está definida para multivectores.
La idea básica aquí es la que subyace en el teorema de Stokes. Comience con un diferencial [matemática] n [/ matemática] -forma [matemática] \ omega [/ matemática], y considere un paralelogramo infinitesimal [matemático] n + 1 [/ matemático] [matemático] \ Delta [/ matemático] . Puede definir un mapa desde [matemática] \ Delta [/ matemática] a un número integrando [matemática] \ omega [/ matemática] sobre las caras dimensionales [matemática] n [/ matemática] de [matemática] \ Delta [/ matemáticas] y resumiendo los resultados. Si incluye los signos apropiados en la suma (no voy a ser explícito aquí, por brevedad), obtendrá un mapa que satisface la linealidad y los axiomas de corte anteriores. Por lo tanto, este mapa define una nueva forma diferencial que llamamos [math] d \ omega [/ math]. Una vez más, el paso clave en esta construcción es poder tomar un paralelogramo infinitesimal y producir un número. No puede hacer esto con multivectores a menos que tenga alguna estructura adicional.
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[1] Como señaló Sridhar Ramesh en los comentarios de la pregunta, este es solo uno de los muchos tipos de integración. Además de lo que describe, también se pueden hacer cosas como integrar campos vectoriales para obtener difeomorfismos. Aquí, me enfocaré en integrar sobre regiones para obtener números.
[2] Seré muy poco riguroso en esta respuesta. Tal vez debería decir “Voy a persuadirte de que tal cosa podría ser, naturalmente, una forma”.
[3] La forma correcta de formalizar esto es con “cadenas” http://en.wikipedia.org/wiki/Cha…
[4] Ver http://en.wikipedia.org/wiki/Tan…. Actualización: mi respuesta a la pregunta de Michael Betancourt a continuación podría proporcionar alguna aclaración:
Podría haber una forma de definir cadenas dobles infinitesimales si tiene alguna estructura especial en la variedad, pero lo bueno de los vectores es que describen directamente estos objetos sin estructura adicional. Un solo vector es una clase de rutas de equivalencia, específicamente, el conjunto de todas las funciones desde [math] t \ in [0,1] [/ math] hasta nuestro múltiple que concuerda (en cualquier sistema de coordenadas) para valores infinitesimales de [math ] t [/ matemáticas]. Del mismo modo, puede pensar en un paralelogramo infinitesimal como el conjunto de todas las funciones de [math] (t_1, \ dots, t_n) \ en [0,1] ^ n [/ math] que coinciden con los valores infinitesimales de [math] t_i [/ matemáticas]. Restringiendo a los caminos a lo largo de cada borde, uno obtiene muy naturalmente una colección de vectores tangentes de un paralelogramo. Por el contrario, dado un conjunto de vectores tangentes, uno puede elegir una ruta que represente a cada uno y construir un paralelogramo a partir de esas rutas en algún sistema de coordenadas. Este paralelogramo será independiente del sistema de coordenadas utilizado para construirlo cuando [math] t_i [/ math] es lo suficientemente pequeño.
Entonces, la respuesta corta es: las colecciones de vectores tangentes describen directamente formas infinitesimales en una variedad, mientras que las formas no.
[5] En realidad, solo necesitamos que sea proporcional al área para paralelogramos cercanos que estén orientados de la misma manera. El supuesto de linealidad es algo más fuerte que esto, ya que podemos usarlo para cambiar la orientación del paralelogramo dentro de la variedad. (Por ejemplo, considere un paralelogramo 2D dividido por (1,0,0) y (0,1,0) en 3 dimensiones. Agregar (0,0,1) a uno de los vectores da como resultado un paralelogramo más grande que también gira 45 grados fuera del plano del original.) ¿Alguien puede pensar en una buena razón natural para exigir la linealidad de [math] \ omega [/ math] en toda su generalidad?
