Estoy a la mitad de mi maestría. en este campo, entonces mi respuesta probablemente carecería de profundidad, y podría haber (y probablemente haya) conexiones mucho más profundas que aún no he encontrado.
Creo que la primera conexión más aparente es con la Teoría de la Medida, que fue una motivación para muchos tipos de cardenales grandes. Una de las primeras cosas que demuestra en Measure Theory es que no existe una medida invariante de traducción definida en todos los subconjuntos de la línea real R. Específicamente, hay conjuntos que no son Lebesgue. Una pregunta natural que surge es “¿Podemos extender el Lebesgue a una medida (no invariante de traducción) que esté definida en todos los subconjuntos de R?”.
La respuesta es bastante sorprendente. Es “Es igualmente consistente con la existencia de un cardenal medible”. Lo que significa esto: si es consistente que exista un caridnal medible, entonces es consistente que existe tal extensión, y viceversa. ¿Qué significa esto? Significa que si tuvieras un modelo de teoría de conjuntos donde existe un cardenal medible, entonces podrías jugar con él para obtener un modelo de teoría de conjuntos donde la medida de Lebesgue pueda extenderse (y viceversa). ¿Por qué es tan sorprendente? Porque significa, para empezar, que no puedes probar que tal extensión existe; si pudieras probarla, podrías probar la consistencia de la Teoría de conjuntos en sí misma (la existencia de un Cardenal medible lo implica). Esto no puede hacerse, según el segundo teorema de incompletitud de Godel.
Ese fue un ejemplo en el que otro campo ha motivado la definición de un gran cardenal. Un tipo diferente de un gran cardenal, llamado 0 #, se define utilizando las herramientas de la teoría del modelo de los indiscernibles. Si bien no es una relación directa, el beneficio de esta relación indirecta es claro: dado que este gran cardenal requiere herramientas del campo de la teoría del modelo, su estudio implica la investigación en la teoría del modelo, que luego tiene impacto en el álgebra y muchos otros campos.
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Mi último ejemplo sería uno de mis favoritos:
Imagina que tienes un set, lo suficientemente grande (más grande que el continuo) y dos jugadores, I y II. El juego es el siguiente: el jugador I divide el conjunto en dos conjuntos (de cualquier forma que desee), y el jugador II elige entre los dos conjuntos. El jugador I divide el conjunto elegido, y el jugador II elige de nuevo. Esto continúa [math] \ omega [/ math] -muchas veces (en términos simples – continúa “para siempre”). Ahora observe la intersección de los conjuntos de todos los conjuntos elegidos en todo el juego (observe que es una intersección de una cadena decreciente). El jugador I gana si esta intersección es de tamaño 1 o 0. El jugador II gana si no, lo que significa que la intersección tiene al menos 2 miembros. Como en cualquier juego, surge la pregunta obvia: “¿Existe una estrategia ganadora? Si es así, ¿qué jugador la tiene?”. Una prueba simple muestra que no tengo una estrategia ganadora (porque el conjunto es más grande que el continuo, de lo contrario lo habría hecho). ¿Qué tal el jugador II? La respuesta, sorprendentemente, es nuevamente “Es equi-consistente con la existencia de un cardenal medible”.
Uno podría argumentar que este ejemplo está algo relacionado con la teoría de juegos, ya que implica la definición de un juego, con una discusión sobre estrategias ganadoras. Sin embargo, es un juego increíblemente específico, y los métodos utilizados para estudiarlo son en su mayoría Set-Theoretic.
Este proceso de “división y selección repetidas” de un conjunto puede surgir en cualquier lugar de las matemáticas. Decir “hay una estrategia ganadora para el jugador II” simplemente dice que hay una manera de seleccionar los conjuntos en el proceso de modo que siempre te queden al menos 2 elementos. Uno puede llegar a casos razonables en los que tal proceso podría ocurrir. Esto proporciona una posible conexión en la otra dirección.
