Un conjunto está totalmente ordenado por una relación [math] \ leq [/ math] si para cualquiera de los tres elementos [math] a, b, c [/ math] en el conjunto, las siguientes propiedades son verdaderas:
1.) Si [matemáticas] a \ leq b, \ b \ leq a [/ matemáticas], entonces [matemáticas] a = b [/ matemáticas]
2.) Si [math] a \ leq b, \ b \ leq c [/ math], entonces [math] a \ leq c [/ math]
3.) [matemáticas] a \ leq b [/ matemáticas] o [matemáticas] b \ leq a [/ matemáticas]
Por ejemplo, [math] \ mathbb {R} [/ math] está totalmente ordenado por la relación habitual mayor que menor que. El conjunto de libros está totalmente ordenado por orden alfabético. Sin embargo, estos dos ejemplos no son lo mismo, porque solo uno de ellos está bien ordenado.
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Un conjunto [math] S [/ math] está bien ordenado por un orden total [math] \ leq [/ math] si algún subconjunto [math] T [/ math] de [math] S [/ math] tiene el más pequeño elemento.
El conjunto de libros está bien ordenado por orden alfabético: para cualquier colección de libros, siempre puede encontrar el que debe aparecer primero en una estantería. Por otro lado, [math] \ mathbb {R} [/ math] no está bien ordenado por su ordenamiento habitual. Trivialmente, [math] \ mathbb {R} [/ math] no tiene un elemento más pequeño, por lo tanto, no está bien ordenado. Sin embargo, los problemas son más profundos que eso, porque también tiene conjuntos como [math] (0, 1) [/ math], que están delimitados a continuación (es decir, hay algún elemento real más pequeño que cualquier elemento en este conjunto), pero Este subconjunto no contiene un elemento más pequeño, ya que no contiene 0.
