Bueno, un mapa lineal es un mapa f: V -> W entre espacios vectoriales tal que f (ax + by) = af (x) + bf (y). Un mapa bilineal es un mapa f: U x V -> W tal que
[matemáticas] f (ax + by, z) = af (x, z) + bf (y, z) [/ matemáticas]
y
- ¿Qué significa realmente la multiplicación?
- Cómo encontrar el número de enteros que satisfacen la desigualdad [matemática] x ^ 2 -6x +3 <0 [/ matemática]
- ¿Cuál es el mejor truco de matemáticas según usted?
- ¿Cómo se expande x ^ 2-1 a (x + 1) (x-1)?
- ¿Cuál es la ecuación del par de líneas a través de [matemáticas] (3, -1) [/ matemáticas] perpendicular a las líneas representadas por [matemáticas] x ^ 2-xy-2y ^ 2 = 0 [/ matemáticas]?
[matemáticas] f (z, ax + by) = af (z, x) + bf (z, y) [/ matemáticas]
– es decir, f es lineal en el primer y segundo componente independientemente. Probablemente puedas adivinar qué es un mapa trilineal, cuadrilíneo … o más generalmente un mapa multilineal.
Muchas personas (¡culpables!) Primero suponen ingenuamente que un mapa bilineal es un tipo de mapa lineal, pero este no es el caso: si tenemos dos vectores (u1, v1) y (u2, v2) en U x V, luego
[matemáticas] f (u_1 + u_2, v_1 + v_2) [/ matemáticas]
[matemáticas] = f (u_1, v_1 + v_2) + f (u_2, v_1 + v_2) [/ matemáticas]
[matemáticas] = f (u_1, v_1) + f (u_1, v_2) + f (u_2, v_1) + f (u_2, v_2), [/ matemáticas]
que no es lo mismo que
[matemáticas] f (u_1, v_1) + f (u_2, v_2) [/ matemáticas].
Sin embargo, es posible crear un espacio Z tal que los mapas lineales f: Z -> W correspondan a los mapas bilineales f: U x V -> W. Este espacio se llama el producto tensorial de U y V, denotado [matemática] U \ otimes V [/ math].
El tema del álgebra multilineal tiene que ver con el producto tensorial y sus amigos los productos simétricos y alternativos. Esto es de vital importancia, por ejemplo, en geometría diferencial, una gran parte de la cual es el estudio de haces tensoriales en múltiples, y en consecuencia una gran parte de cualquier tema que use física.
