¿Qué es una explicación intuitiva de la cohomología de De Rham?

Voy a ser tan intuitivo y sin antecedentes asumidos como sea posible, lo que probablemente sea demasiado técnico para la mayoría y demasiado ingenuo para la mayoría de los demás.

Entonces, una forma de pensar en homología y cohomología es que son formas de contar el número de agujeros en una forma (espacio, múltiple, lo que sea).

Considere una línea con un punto faltante. No puedes ir de un lado de la línea al otro. O, en otras palabras, si tiene dos puntos, uno a la derecha del punto faltante y otro a la izquierda, no puede aplastar estos puntos juntos. Este es un “agujero de 0 dimensiones”. (dos puntos son como una “esfera de 0 dimensiones”).

Considere un plano bidimensional con un punto faltante. Ahora, si tiene dos puntos en cualquier lugar, puede aplastarlos juntos. Simplemente da la vuelta y evita el punto perdido. Sin embargo, si tiene un bucle de goma alrededor del punto faltante, no puede aplastar ese bucle hasta un punto. Así que ahora tienes un “agujero unidimensional”.

Considere el espacio tridimensional con un punto faltante. Ahora, si tiene un bucle de banda de goma en cualquier lugar, puede aplastarlo hasta un punto: simplemente manténgase alejado del punto faltante. Pero si tiene una esfera de goma que encierra el punto faltante, no puede aplastar esa esfera hasta un punto sin salir del espacio. Este es un “agujero bidimensional”.

O, para otro ejemplo, considere un toro: la superficie de una rosquilla. Hay algunos bucles de banda de goma unidimensionales en el toro que puedes aplastar hasta un punto (esos son “caminos cerrados nulo-homotópicos”), pero hay algunos que no puedes. Por ejemplo, cualquiera de estos bucles no puede ser aplastado:

La cuestión es que estos bucles no solo son inquebrantables, sino que ni siquiera puedes deformar el rojo para que se convierta en el púrpura. Esos son dos agujeros unidimensionales distintos en nuestro espacio, por lo que la homología 1-dim (o cohomología) tendrá dos generadores independientes aquí. Esto es lo que quiero decir con “contar”.

Una forma de pensar acerca de estos “agujeros” es así: una forma dentro de nuestro espacio es un agujero si

1. no tiene límite
2. No es el límite de nada más.

La primera parte enfoca la atención en bucles cerrados en lugar de caminos abiertos; La segunda parte dice que un circuito cerrado no es un agujero si limita un parche. Del mismo modo, una superficie con límite no es un candidato para ser un agujero, pero una superficie sin límite (como una esfera) sí lo es, y es un agujero a menos que tenga una bola llena dentro.

Hasta ahora, todo esto era geometría / topología. Y, de hecho, una forma de definir grupos de homología y cohomología es estudiando puntos, líneas, triángulos y pirámides (homología simplicial) o bucles y deformaciones k-dimensionales (homología singular).

Pero resulta que hay otra forma de detectar agujeros, que puede ser más familiar para los estudiantes de física. Tiene que ver con la noción de formas diferenciales en un espacio. Una forma diferencial es solo una expresión como

[matemáticas] xy ^ 2 \, dx + e ^ {x + y} dy [/ matemáticas]

compuesto de funciones asociadas a “dx” y “dy”. Más específicamente,

• Las formas 0 son solo funciones [matemáticas] f (x, y, z) [/ matemáticas] (o las variables que necesite)
• Las formas 1 son como [math] f \, dx + g \, dy + h \, dz [/ math]
• Las formas 2 son como [math] f \, dxdy + g \, dxdz + h \, dydz [/ math]
• y así.

Lo que hay que saber sobre estas formas es que se pueden diferenciar. También se pueden integrar, pero podemos evitar esto por un tiempo. Al diferenciar una forma se obtiene una forma del siguiente tipo más alto: diferenciar una forma 0 da una forma 1, una forma 1 produce una forma 2, y así sucesivamente. Las reglas sobre cómo aplicar el operador de diferenciación son realmente bastante simples: tomas derivados como de costumbre, y cada vez que tomas la derivada con respecto a una variable [math] u [/ math] agregas un [math] du [/ math] a tu expresión, y siempre evitas tener dos [math] du [/ math] idénticos juntos. Cuando lo haces, los borras. Los físicos están familiarizados con estas operaciones bajo los nombres “grad”, “div” y “curl”.

Ahora decimos que una forma está cerrada si su derivada es 0, y una forma es exacta si es la derivada de otra cosa. Esto debería considerarse como análogo a las dos partes de “ser un agujero” que discutimos antes: estar cerrado es como “no tener límite”, y ser exacto es como “delimitar un parche”. Un agujero es una forma cerrada que no es exacta . (Ver formas diferenciales cerradas y exactas para más detalles).

Nuevamente, en el sentido físico, encontrar una forma cuya derivada es una forma dada es como encontrar un “potencial”. Se logra mediante la integración, y la pregunta clave es si puede definir esas integrales de una manera única, independiente del camino de integración. Esto es esencialmente por qué la estructura diferencial refleja la estructura geométrica de caminos y agujeros.

Por ejemplo, en el avión sin puntos extraídos, sucede que todas las formas cerradas son exactas. Sin embargo, en un avión con un punto perdido, hay una forma 1 que está cerrada pero no es exacta:

[matemáticas] \ frac {-y} {x ^ 2 + y ^ 2} dx + \ frac {x} {x ^ 2 + y ^ 2} dy [/ matemáticas].

Puede ver que esto no está definido en el origen, por lo que no podemos hacer que funcione para todo el plano, pero funciona perfectamente bien en el plano con un punto eliminado. Si conoce un análisis complejo, puede reconocer esta forma simplemente como [math] \ frac {dz} {z} [/ math], y el hecho de que no sea exacto es la razón por la cual el residuo de una serie de Laurent viene dado por el coeficiente de [math] z ^ {- 1} [/ math], y es la única parte que contribuye a integrales de caminos cerrados. Es la verdadera importación de la “casualidad” que [matemáticas] \ int z ^ n \, dz = \ frac {z ^ {n + 1}} {n + 1} [/ matemáticas] funciona excepto cuando [matemáticas] n = -1 [/ matemáticas].

Esta forma de medir agujeros k-dimensionales se llama cohomología de-Rham. La cohomología k-dimensional de-Rham de un espacio es el cociente del espacio de formas k cerradas por el espacio de formas k exactas .

Para espacios lo suficientemente agradables, las diferentes formas de contar agujeros dan la misma respuesta. Las cohomologías simplicial, singular y de-Rham (y una gran cantidad de otras) son todas isomorfas (que significa “lo mismo”). Esta es una característica asombrosa de la idea de una teoría de la cohomología, ya que nos permite movernos entre diferentes dominios y conectar la geometría, el análisis y la topología de espacios de formas útiles e inesperadas.

Para mí, la manera más fácil de entender la cohomología de De Rham es explicar por qué ciertas ecuaciones diferenciales no tienen solución. Por ejemplo, dado R ^ 2, reunimos todas las ecuaciones diferenciales que el operador diferencial aniquila, luego preguntamos si estas ecuaciones diferenciales admiten una solución. Luego eliminamos un punto de R ^ 2, seguramente admite más ecuaciones diferenciales, luego preguntamos si las ecuaciones diferenciales adicionales que obtenemos al eliminar el punto tienen soluciones o no.

Esas ecuaciones diferenciales que son aniquiladas por el operador diferencial se llaman formas cerradas (si lo desea, puede considerarlas como buenas ecuaciones diferenciales ordinarias que se pueden expresar muy bien), y entre las que tienen una solución, las llamamos exactas (estos términos ¡también se usan en ODE!). La cohomología de De Rham captura estas diferencias al encontrar la dimensión de los espacios vectoriales de formas cerradas bajo el cociente por formas exactas. (Por supuesto, puede haber otras formas de capturar estas diferencias, pero hasta ahora esta podría ser la forma más fácil de calcular).

Nos damos cuenta de que sus cohomologías de De Rham son diferentes. No es tan misterioso porque eliminar un punto admite más ecuaciones diferenciales (al igual que eliminar 1 punto en los reales R admite funciones más continuas. Por ejemplo, 1 / x es continuo en R- {0} pero no en R, mientras que aquellos que son continuos en R son ciertamente continuos en R- {0}).

En mi opinión, las teorías de la cohomología suelen ser algo así como: 1) se nos da un espacio topológico, 2) qué tipo de funciones podemos tener en el espacio, 3) calcular las diferencias. La homología simple se trata de qué tipo de funciones continuas podemos mapear desde un “triángulo” (o simplex) a un espacio topológico. La cohomología de Dolbeault es un poco similar a la cohomología de De Rham, pero estamos viendo formas diferenciales específicas. La cohomología sheaf se trata de qué tipo de funciones pueden pegar y no pueden pegar. Esto subyace al hecho de que las cosas que hacemos, como resolver ecuaciones diferenciales, mapear triángulos y pegar funciones, están estrechamente relacionadas con el entorno topológico en el que estamos trabajando. Esa es mi forma de ver las teorías de la cohomología, y ciertamente habrá alguien que no esté de acuerdo.