Matemática mental: ¿cómo calcula mi amigo la raíz cuadrada de cualquier número con tanta precisión?

Hay muchos ‘trucos’ para hacer aritmética mental rápidamente.

Cuando era más joven, una colección popular de estos fue el Sistema Trachtenberg de Matemáticas de Velocidad

El sistema Trachtenberg proporciona algunos antecedentes sobre Jakow Trachtenberg.

Hoy en día, el sistema más popular parece ser el indio http://www.vedicmaths.org/ Vedic Mathematics (a veces criticado por no ser védico ni particularmente antiguo).

Estos métodos se basan en parte en la memoria, en parte en la habilidad y la práctica, y en gran medida en técnicas que no son particularmente obvias, pero que se pueden probar utilizando la teoría de números. Recuerde que los ‘números’ son solo polinomios finitos en potencias de diez.

Sin embargo, algunas personas son muy inusualmente talentosas, más allá de tener una memoria excepcional. Ha habido muchos sabios matemáticos (aritméticos), algunos mencionados aquí: 25 Amazing Savant Minds.

Recuerdo que hubo un estudio de alguien que tenía una técnica inusual de hablar como él calculó. Se determinó que estaba usando el habla como una especie de línea de retardo, un segundo nivel de memoria para retroalimentar sus cálculos.

Su amigo podría estar utilizando el siguiente método, suponiendo que él / ella pueda cuadrar todos los enteros del 1 al 10 mentalmente. Encuentra el número entero de los armarios, por lo que puede, como máximo, estar desactivado [math] | 1 | [/ math]. Primero, le mostraré cómo puede aprovechar los poderes secretos de su amigo, luego le mostraré cómo puede usar sus debilidades para su ventaja.

Considere el número [math] n [/ math] donde [math] n [/ math] es un número entero.

Para fines de demostración, supongamos que [math] n = 841 [/ math]

1)

• Encuentre el último entero: vaya al 1-10 al cuadrado y observe la raíz si el último entero del número al cuadrado es igual al último entero de n.
• Por ejemplo cuando n = 841 : [matemática] 9 ^ 2 [/ matemática] = [matemática] 81 [/ matemática], [matemática] 1 ^ 2 [/ matemática] = [matemática] 1 [/ matemática], por lo tanto, el último entero puede ser 9 o 1.
• Consejo: Una vez que haya encontrado la primera coincidencia, que sea 9, puede encontrar rápidamente al otro candidato tomando 10-9 = 1 .

2)

• El resto: Tacha los dos últimos enteros de n, así que te queda 8. Hazte con tu 1-10 al cuadrado hasta que el cuadrado esté justo debajo de ese número (8).
• Por ejemplo: [matemáticas] 1 ^ 2 = 1, 2 ^ 2 = 4, 3 ^ 2 = 9. [/ math] En este ejemplo, el primer entero es 2 porque 2 al cuadrado es ‘justo’ debajo de 8 mientras que 3 al cuadrado está por encima de 8.

3)

• Decidir sobre los candidatos: para determinar si el último entero debe ser 9 o 1 [ vea el paso 1 ] tomamos “el resto” [ vea el paso 2 ], 2 y lo multiplicamos por (sí mismo + 1). Luego, comparamos la respuesta con r [ vea el paso 2 ].
• Por ejemplo: 2 (2-1) = 6, 6 <8, por lo tanto, usamos el "último entero" más grande: 1 <9, último entero = 9 .
• Ahora sabemos la respuesta a nuestro ejemplo: [math] sqrt (841) = 29. [/ Math]

4)

• Validación:

Las mayores debilidades de este método son cuando se trata de raíces y cuadrados no enteros, así como también de 4 o más números de dígitos donde tienes que cuadrar números grandes mentalmente.

En mi vida anterior como maestra, calculaba raíces cuadradas en mi cabeza mientras realizaba los exámenes, y había dos técnicas importantes:

Cuadrando medios enteros.

Considerar:

[matemáticas] (x + 0.5) ^ 2 = x ^ 2 + x + 0.25 = x (x + 1) + 0.25 [/ matemáticas]

Este hermoso resultado duplica inmediatamente la cantidad de cuadrados que puede calcular rápidamente. Digamos, por lo tanto, que quieres calcular la raíz cuadrada de 70. Sabes que está entre 8 (raíz 64) y 9 (raíz 81), pero ¿cuál está más cerca? No temas:

[matemáticas] 8.5 ^ 2 = 8 \ veces 9 + 0.25 = 72.25 [/ matemáticas]

Como 70 es menor que 72.25, usted sabe que la raíz cuadrada es menor que 8.5, y probablemente muy cerca. ¡Pero entonces puedes aplicar este truco nuevamente! ¿Cuál es el cuadrado de 8.45? Tomando la regla anterior y dividiendo por cien,

[matemáticas] 8.45 ^ 2 = 8.4 \ veces 8.5 + 0.0025 [/ matemáticas]

Tal vez se pregunte cómo demonios puede calcular 8.4 x 8.5. En primer lugar, no es demasiado difícil hacer multiplicaciones arbitrarias de 2 × 2 mentalmente (con práctica). En segundo lugar, ya casi estamos allí, ¡ sabemos que 8.5 x 8.5 = 72.25! Entonces:

[matemáticas] 8.4 \ veces 8.5 = 8.5 \ veces 8.5 – 0.1 \ veces 8.5 = 72.25 – 0.85 = 71.4 [/ matemáticas]

(Eso parece mucho trabajo para recordar, pero solo haga esto: calculó que 8.5 al cuadrado es 72.25; está bajando, por lo que es un signo menos; menos 85 de 7225, descartando los puntos decimales por un tiempo, es fácil lo suficiente como para volver a ponerlos.) Todo esto luego da

[matemáticas] 8.45 ^ 2 = 71.4025 [/ matemáticas]

Puede “bajar” fácilmente y obtener

[matemáticas] 8.35 ^ 2 = 69.7225 [/ matemáticas]

(tome 7140 y reste 84 x 2; trabajar el álgebra es un buen ejercicio para comprender el método) y, por lo tanto, con solo tres cálculos mentales, tiene la raíz cuadrada de 70 fijada entre 8,35 y 8,45, que es aproximadamente 1- 2% de incertidumbre.

(También puede pasar de [matemáticas] 8.5 ^ 2 [/ matemáticas] a [matemáticas] 8.4 ^ 2 [/ matemáticas] – suelte los decimales para obtener [matemáticas] 85 ^ 2 = 7225 [/ matemáticas], reste 1 y luego reste dos 84:

[matemáticas] 84 ^ 2 = 7225 – 1 – 84 – 84 = 7056 [/ matemáticas]

entonces [matemáticas] 8.4 ^ 2 = 70.56 [/ matemáticas]. ¡No está mal!)

Linealización

Imagine que ya tiene la raíz cuadrada [matemática] x_0 [/ matemática] de un número [matemática] x_0 ^ 2 [/ matemática], y está tratando de encontrar la raíz cuadrada de un número [matemática] x ^ 2 [/ matemática], donde [matemática] x [/ matemática] está bastante cerca de [matemática] x_0 [/ matemática] – en otras palabras, estás casi allí, solo por una pequeña cantidad. Luego

[matemáticas] x ^ 2 – x_0 ^ 2 = (x – x_0) (x + x_0) \ aprox 2 x (x-x_0) [/ matemáticas]

(la última aproximación funciona porque [math] x [/ math] está bastante cerca de [math] x_0 [/ math]). Así:

[matemática] \ frac {1} {2} \ izquierda (\ frac {x ^ 2} {x_0 ^ 2} – 1 \ derecha) \ aprox \ frac {x} {x_0} -1 [/ matemática]

(dividir entre [matemáticas] 2x_0 [/ matemáticas], y luego entre [matemáticas] x_0 [/ matemáticas] en el lado izquierdo y por [matemáticas] x [/ matemáticas] en el lado derecho. De nuevo, estamos se permite hacer eso porque [math] x [/ math] está bastante cerca de [math] x_0 [/ math].) Eso parece aterrador, pero lo que se reduce a esto es: en el lado derecho, tenemos el error porcentual de la raíz cuadrada (por ejemplo, 1.01 es 1% más grande que 1), y en el lado izquierdo, entre paréntesis tenemos el porcentaje de error del cuadrado. La ecuación se reduce maravillosamente a:

Un error porcentual en el cuadrado da medio error porcentual en la raíz cuadrada.

(La gente de matemáticas reconocerá esto como el término lineal de la serie Taylor, pero esta explicación particular no requiere cálculo).

Entonces, ¿cuál es la raíz cuadrada de 100.5? Para una precisión sorprendentemente alta, es simplemente 10.025 – 100.5 es 0.5% más que 100, por lo que su raíz cuadrada será 0.25% más que 10, o 10.025. Por lo tanto, cuando esté operando en el vecindario de un cuadrado conocido, obtendrá resultados muy precisos con bastante rapidez simplemente “deslizando” sus respuestas hacia arriba y hacia abajo. ¿Y adivina qué? Gracias a la técnica anterior, tienes muchos más cuadrados conocidos que si solo confiaras en los cuadrados de los enteros.

Volvamos al ejemplo anterior de la raíz cuadrada de 70. Justo ahora calculamos que 8.45 al cuadrado es 71.4025. Reconociendo 14 = 7 x 2, podemos ver que 70 es aproximadamente 2% menor que 71.4, por lo que su raíz cuadrada debería ser aproximadamente 1% menor que 8.45. Entonces 8.45 – 1% es aproximadamente 8.37, que cuando se eleva al cuadrado da 70.0569 o aproximadamente 0.08% de error. (Para ser un poco más exacto, 8.45 – 1% es 8.3655, que cuando se eleva al cuadrado da aproximadamente 69.98 o aproximadamente un tercio del error de la estimación anterior).

(O: [matemáticas] 8.4 ^ 2 = 70.56 [/ matemáticas] que es 0.8% de descuento; por lo tanto, tomar 0.4% de descuento 8.4 le daría la raíz cuadrada. Un poco más complicado).

Un ejemplo final

¿Cuál es la raíz cuadrada de 59? Una suposición rápida es que está entre 7 (-> 49) y 8 (-> 64). Entonces

[matemáticas] 7.5 ^ 2 = 56.25; 7.6 ^ 2 = 57.76; [/ matemáticas]

Estoy aproximadamente un 2% menos *, por lo que agregar un 1% a mi estimación da 7.676, que cuando se eleva al cuadrado da 58.92, solo un 0.08, o menos del 0.1%.

Tada!

* Dado que 57.76 de 59 es entre 57 de 59 (que es más del 2% – compare con 98 de 100 que es exactamente el 2%) y 58 de 59 (que es más del 1% – compare con 99 de 100, pero menos del 2%, en comparación con 49 de 50), puedo apuñalarlo como menos del 2%. En realidad es un 2.1% menos, ¡no está mal!)

Siempre que esté buscando una respuesta sin resultados decimales, en realidad es bastante fácil. Aprendí esto en la escuela secundaria hace unos (!) Años.

Si toma un número como 324, puede calcular inmediatamente la parte ‘decenas’, al darse cuenta de que 10 ^ 2 es 100 y 20 ^ 2 es 400, por lo que la respuesta está entre los dos. La parte de las unidades, cuando se eleva al cuadrado, tiene un resultado de unidades que termina en 4, lo que limita la respuesta a 12 o 18. Dado que 12 ^ 2 se almacena en la mayoría de nuestras memorias como 144, debe ser 18. Tome una pila de números que son cuadrados verdaderos y pruebe la técnica en números menores a 10000 y funcionará. Necesita expandir la técnica para números más grandes.

Si se aborda lógicamente, esto no es muy difícil; al menos, en el campo de las matemáticas mentales, personalmente siento que no es una de las cosas ‘oh wow’. En primer lugar, puedo presumir que cualquiera que haya pasado la escuela secundaria y haya prestado atención debería conocer todos los cuadrados perfectos hasta 100. Así es: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 y 100.

(Si tiene un poco de curiosidad, los siguientes 10 (cuadrados de 11 a 20) están al alcance, y recordar los 10 cuadrados después de eso (cuadrados de 21 a 30) es simplemente una cuestión de un poco más de perseverancia).

Ahora, si me piden la raíz cuadrada de 20, inmediatamente veo que 20 está entre 16 y 25, por lo que el sqrt de 20 estará entre 4 y 5; y dado que 20 está justo por debajo del punto medio exacto (20.5), diría que el sqrt también es un poco menor que 4.5. Entonces, saco 4.47 de la nada, y cualquier audiencia está impresionada. Como dijo Sherlock Holmes, si solo ve el resultado como una deducción brillante, está deslumbrado, pero si ve que se resolvió paso a paso, se siente un poco normal.

Puede intentarlo usted mismo y desmitificar este acto por completo. Sqrt (40)? Tiene que estar entre 6 y 7, y más cerca de seis que siete (porque el punto medio de 36 y 49 es 42.5), entonces creo que 6.3, pero solo para evitar una cifra ‘redonda’, voy por un segundo decimal y digo 6.32 .

Pruébalo con algunos otros números, ¡y puedes comenzar a deslumbrar a tus amigos!

También uso un método de cálculo mental para encontrar la raíz cuadrada.

Cuando sabes que el número es cuadrado perfecto

Supongamos que tomé un número 7569. Es el cuadrado perfecto que tiene la raíz cuadrada 87.

Distribuya el número en dos partes, una con unidades de uno y decenas y el resto a un lado como

75 69

Ahora, 8² <75 <9²

Significa que la raíz cuadrada se encuentra entre 80 y 90.

Ahora, solo 3² y 7² tienen 9 en su lugar. (3² = 9 y 7² = 49)

Dado que 75 está más cerca de 9² (es decir, 81) que 8² (es decir, 64). Por lo tanto, el valor mayor, es decir, 7 , se prefiere sobre 3.

Entonces la raíz cuadrada de 7569 es 87.

Del mismo modo podemos encontrar fácilmente las raíces aproximadas de números que no son cuadrados perfectos.

Hasta donde yo sé, es el método más fácil encontrar raíz cuadrada hasta 10,000 (es decir, 100²).

Estoy usando esto de mi clase 5. Espero que lo hayas entendido.

Si no estás hablando de algún truco mental con logaritmo que es muy divertido, supongo que tu amigo ha pasado por este tipo de entrenamiento en el que memorizas todas las raíces cuadradas de números primos menores que 20, y todos los cuadrados números menos de 500. Es una práctica más fácil de lo que piensas.