¿Cómo sería la gráfica de [matemáticas] x ^ x [/ matemáticas]?

El usuario de Quora y Philip Lloyd ya han dado excelentes respuestas que muestran el valor complejo de la función [matemáticas] x ^ x [/ matemáticas] cuando [matemáticas] x [/ matemáticas] es real .

Sin embargo, me intrigó el comentario de Oscar Heath sobre la respuesta de Philip Lloyd:

¿Cómo se ve la gráfica de la función compleja [matemáticas] z ^ z [/ matemáticas]?

Para responder esto, tenemos que ser un poco inteligentes acerca de cómo representamos las cosas. Para representar una variable compleja, necesitamos dos coordenadas; Las opciones de base más útiles son las partes reales e imaginarias, y el módulo y la fase. Queremos mostrar un argumento complejo y un valor complejo, que requiere cuatro coordenadas. ¡Los tres ejes espaciales fáciles de visualizar no van a cortarlo!

Voy a usar el eje z del sistema de coordenadas para representar la magnitud del resultado, [math] \ mu = \ left | \, z ^ z \, \ right | [/ math], y usar color para Representa la fase. Este es un truco común; puedes verlo en la respuesta de Job Bouwman, aunque usa un mapa de colores diferente.

¡Y así es como se ve [math] z ^ z [/ math] !

Al observar la forma en que la fase gira y gira en el plano complejo, noté que con frecuencia cruza [matemáticas] 0 [/ matemáticas] y [matemáticas] \ pi [/ matemáticas]. ¡Esta función tiene valores reales en todo el lugar!

Entonces, pensé que era apropiado elegir los puntos donde la función tiene un valor real y trazarlos por su cuenta:

Tengo esta idea del sitio web de Philip Lloyd. Estas líneas son lo que él llamaría “gráficos fantasmas”, aunque no estoy seguro de que me guste ese término. En la figura anterior, los valores reales positivos se dibujan en rojo y los valores reales negativos se dibujan en azul.

Notarás que el eje y, [math] z = iy [/ math], produce valores reales, y puedes ver por qué, si recuerdas que [math] i ^ {\, i} [/ math] es real. Los enteros negativos -1, -2, -3, … también producen resultados reales, al igual que el eje x positivo.

Para obtener una descripción más detallada, incluido el código Python utilizado para generar estas figuras y algunas palabras sobre algunos de los detalles que he estado ocultando, vea este cuaderno de Jupyter.

Este script de matlab (enlace a continuación) muestra no solo el gráfico complejo 3D, sino también las proyecciones reales e imaginarias, así como la fase (color) y la magnitud (grosor).

1) La ‘serpiente’ 3D muestra el comportamiento complejo de f (x) sobre x:

2) La proyección del piso muestra la parte real de f (x), proyectada a lo largo del eje imaginario:

3) La proyección derecha muestra la parte imaginaria, proyectada a lo largo del eje real:

4) La proyección posterior muestra el plano complejo (proyectado a lo largo del eje x)

5) La magnitud de f (x) se visualiza en el grosor de la serpiente.

6) Finalmente, los colores del arco iris de la piel de jabón agregada reflejan la fase de f (x).

Otra función visualizada con esta técnica:

Respuesta del usuario de Quora a ¿Cómo se ve la función compleja y = 2 ^ (ix)?

Código de Matlab:

soapSnake – comprender funciones complejas – Intercambio de archivos – MATLAB Central

La interpretación más general de [matemáticas] a ^ b [/ matemáticas] es [matemáticas] e ^ {b \ ln a} [/ matemáticas]. Entonces [matemáticas] x ^ x = e ^ {x \ ln {x}} [/ matemáticas]. Si x es positivo, esta es una buena función continua de x, que tiene un límite de 1 en 0.

Si x es negativo, entonces ln (x) no es un número real. Es un número complejo, y comúnmente definimos [matemáticas] \ ln x = \ ln | x | + i \ pi [/ matemáticas]. Esto significa

[matemáticas] \ begin {align} x ^ x & = e ^ {x \ ln x} = e ^ {x (\ ln | x | + i \ pi)} \\ & = e ^ {x \ ln | x El | + i \ pi x} \\ & = e ^ {x \ ln | x |} (\ cos (\ pi x) + i \ sin (\ pi x)) \ end {align} [/ math]

Observe que esta cantidad es real si y solo si x es un número entero.

Poniendo esto juntos tenemos:

[matemáticas] x ^ x = \ begin {cases} e ^ {x \ ln x} & x> 0 \\ e ^ {x \ ln | x |} (\ cos (\ pi x) + i \ sin (\ pi x)) & x <0 \\ 1 & x = 0 \ end {cases} [/ math]

Aquí hay una trama (de Wolfram | Alpha):

Voy un paso más allá que Thomas Jollans, y representaré las coordenadas del ” espacio 4D ” de la función compleja w = w (z), o con variables “reales” x, y, u, v … (u + iv ) = F (x + iy), en una ” vista 3D ” en la ” pantalla 2D ” 😉

Esto es posible porque el gráfico de función es una variedad 1D en términos de espacio complejo (z, w), que es equivalente a una variedad 2D en términos de espacio real (x, y, u, v), ¡que es una superficie! El hecho de que esté en 4D no debería hacerlo mucho más complicado que renderizar una superficie 3D “en papel”. En lugar de proyectar 3 coordenadas en una pantalla plana, solo proyectamos 4. Y usamos las mismas técnicas de renderizado que para 3D: mostrando 2 familias de líneas paramétricas sobre la superficie y sugiriendo textura de superficie …

(No sé por qué tengo que repetir esto cada vez, pero me sorprende una vez más, cómo la representación “verdadera 4D” de funciones complejas todavía se considera generalmente como imposible o poco práctica).

Entonces, la función compleja w = z ^ z se ve así .

Observe las curvas características en él, algunas correspondientes a las otras respuestas.

Para más variaciones, acabo de subir otra vista con el enlace de Tumblr
https://vt.media.tumblr.com/tumb …
Función compleja w = z ^ z (w = u + iv y z = x + iy).
Vista 4D: plano z en cian, plano w en magenta
Rotaciones a lo largo de xy (plano z), luego yv (im. Ejes), luego xyv.

Ver también la respuesta de mi Guido Wuyts a X ^ x = e. ¿Cómo se resuelve para x?

Más sobre esta técnica en mis sitios
QB-Complex y
Visualización de wugi de funciones complejas – YouTube

Me han dicho que la ecuación problemática y = x ^ x solo se define para números reales positivos x. Pero no podía aceptar eso, así que profundicé. Y lo que encontré fue que está definido para todos los números reales x, pero solo si permite que y sea complejo para x <0. La función tiene una solución obvia de "valor de y único para cada valor de x", pero también tiene un infinito cantidad de otras soluciones, que se encuentran en la misma superficie curva en 3 espacios. Demostraré ambas soluciones. Las matemáticas son así:

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SOLUCIÓN DE VALOR ÚNICO:

Para ver una definición viable para y = x ^ x (x real, y complejo), primero necesitamos convertir la ecuación a la forma “polar” de Eulerian:

[matemáticas] y = x ^ x [/ matemáticas]
[matemáticas] y = e ^ {ln (x ^ x)} [/ matemáticas]
[matemáticas] y = e ^ {(x) ln (x)} [/ matemáticas]
[matemáticas] y = e ^ {(x) ln (| x | e ^ {i \ phi})} [/ matemáticas]
[matemáticas] y = e ^ {x (ln | x | + i \ phi)} [/ matemáticas]
[matemáticas] y = e ^ {(x) ln | x | + xi \ phi} [/ matemáticas]
[matemáticas] y = e ^ {(x) ln | x |} e ^ {xi \ phi} [/ matemáticas]
[matemáticas] y = e ^ {ln (| x | ^ x)} e ^ {xi \ phi} [/ matemáticas]
[matemáticas] y = | x | ^ xe ^ {xi \ phi} [/ matemáticas] FORMA POLAR
[matemáticas] y = | x | ^ x cos (x \ phi) + | x | ^ x sin (x \ phi) i [/ matemáticas] FORMA RECTANGULAR

Ahora, si [math] x [/ math] es un número real positivo, [math] | x | = x [/ matemática] y [matemática] \ phi [/ matemática] [matemática] = 0 [/ matemática] así que esto se reduce a:

[matemáticas] y = (x ^ x) (e ^ 0) [/ matemáticas]
[matemáticas] y = (x ^ x) (1) [/ matemáticas]
[matemáticas] y = x ^ x [/ matemáticas]

que es donde empezamos

Sin embargo, si [math] x [/ math] es un número real NEGATIVO, [math] \ phi = \ pi [/ math] lo que hará que [math] y [/ math] tome valores complejos:

[matemáticas] y = | x | ^ xe ^ {xi \ pi} [/ matemáticas] FORMA POLAR
[matemáticas] y = | x | ^ x cos (\ phi x) + | x | ^ x sin (\ phi x) i [/ matemáticas] FORMA RECTANGULAR

Por lo tanto, la función [matemática] y = x ^ x [/ matemática], [matemática] \ mathbb {R} \ mapsto \ mathbb {C} [/ matemática] se define para todos los números reales x.
Para [matemáticas] x = 1, y = 1 [/ matemáticas]. ([matemática] lim {x \ a 0 ^ +} (y) = 1 [/ matemática].)
Para [matemáticas] x> 0, y = x ^ x = e ^ {x ln x} [/ matemáticas].
Para [matemáticas] x <0, y = | x | ^ x cos (\ pi x) + | x | ^ x sin (\ pi x) i [/ matemáticas]

Por lo tanto, si creamos el eje az perpendicular a los ejes x e y, apuntando desde el plano de la pantalla de la computadora hacia el espectador, y usamos ese eje z para trazar la parte imaginaria de y = x ^ x, entonces la mitad izquierda de el gráfico es una hélice del período 2 alrededor del eje x negativo, disminuyendo en amplitud a medida que el gráfico va hacia la izquierda.

En cada valor entero de x (-1, -2, -3 …), la hélice perfora el plano x / y, y en esos puntos, y tiene un valor real puro. (Por ejemplo: (-2) ^ (- 2) = 0.25)

En cada valor medio entero de x (-0.5, -1.5, -2.5 …), la hélice perfora el plano x / z, y en esos puntos, y tiene un valor puramente imaginario. (Por ejemplo: [matemáticas] (- 0.5) ^ {- 0.5} = \ sqrt {0.5} i \ aproximadamente 0.707i [/ matemáticas])

En todos los demás puntos, y tiene un único valor complejo no imaginario no real bien definido. (Consulte los primeros 2 gráficos a continuación para obtener una visualización de esta función).

Para una imagen visual de cómo se ve esta versión de un solo valor, vea los dos gráficos a continuación. Ninguno de estos es mi propio trabajo; Acabo de tomar las pocas ilustraciones que pude encontrar a través de la búsqueda de imágenes de Google. El gráfico 3D es de Philip Lloyd de Nueva Zelanda; No estoy seguro de la fuente del gráfico real / imaginario / absoluto. Llegaré a la versión de valores múltiples inmediatamente después de estos dos primeros gráficos:

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SOLUCIÓN MULTI-VALORADA:

Sin embargo, la solución anterior es solo una solución que funciona; hay infinitos, de modo que el gráfico de esta ecuación es en realidad una superficie con forma de aguja rusa. La razón es que cuando dije que el ángulo de un número real negativo, considerado como un número complejo en forma polar, es ϕ = π, eso es mentira por omisión. En realidad ϕ = cualquiera de π, 3π, 5π, 7π, 9π … (hasta el infinito) o -π, -3π, -7π, -9π … (hasta el infinito negativo). ¡Todos apuntan en la dirección negativa-x, pero todos dan gráficos completamente diferentes para y = x ^ x! Sin embargo, todos esos gráficos se encuentran a lo largo de la misma superficie curva, que se muestra en esta imagen del sitio web “http: //demonstrations.wolfram.co…”:

Y para una hermosa imagen en 3D de este gráfico, vea la imagen a continuación, que proviene del siguiente sitio web:
https://www.franstallings.com/xt …

[matemática] x ^ x [/ matemática] está bien definida como una función real de cualquier real positiva [matemática] x [/ matemática]. Y el resultado es siempre un real positivo.

Pero, para [matemática] x [/ matemática] negativa, no se comporta bien. Deje [math] u = | x | = -x [/ math] para [math] x <0 [/ math]. Entonces [matemáticas] x ^ x = \ dfrac1 {(- 1) ^ uu ^ u} [/ matemáticas].

Mientras que [math] u ^ u [/ math] se porta bien ([math] u [/ math] es positivo), entonces [math] (- 1) ^ u [/ math] no está bien definido.

Una aproximación para una respuesta es escribir [math] -1 = e ^ {i (2k + 1) \ pi} [/ math], para [math] k \ in \ mathbb Z [/ math], entonces [math] ( -1) ^ u = e ^ {i (2k + 1) u \ pi} [/ math]. En este caso, una solución para [matemáticas] x ^ x [/ matemáticas] es [matemáticas] | x | ^ {- | x |} e ^ {- i (2k + 1) | x | \ pi} [/ matemáticas] . (o [matemáticas] u ^ {- u} e ^ {- i (2k + 1) u \ pi} [/ matemáticas])

Esto significa que hay tantas soluciones para [matemática] x ^ x [/ matemática], como soluciones para [matemática] (- 1) ^ {| x |} [/ matemática]. Si [math] x [/ math] es irracional, hay una solución para cada posible [math] k \ in \ mathbb Z [/ math]. Así que hay soluciones infinitas contables (y ninguna de ellas es real).

Si [math] u = | x | [/ math] es racional, existen enteros coprimos positivos [math] p, q [/ math] como [math] x = – \ frac pq [/ math], [math] u = \ frac pq [/ matemáticas]. Entonces, la solución para [matemáticas] k + q [/ matemáticas] sería [matemáticas] x ^ x = u ^ {- u} e ^ {- i \ frac {(2 (k + q) +1) p} q \ pi} = u ^ {- u} e ^ {- i \ frac {(2k + 1) p + 2qp} q \ pi} = u ^ {- u} e ^ {- i (\ frac {(2k +1) p} q + 2p) \ pi} = u ^ {- u} e ^ {- i (2k + 1) u \ pi} e ^ {- i2 \ pi p} = u ^ {- u} e ^ {- i (2k + 1) u \ pi} [/ matemáticas].

Esto significa que tiene tantas soluciones como [math] q [/ math]. Si [math] q [/ math] es par, ninguna de esas soluciones es real. Si [math] q [/ math] es impar, hay una solución real: cuando [math] 2k + 1 = q [/ math]. Entonces, de acuerdo con la paridad de [matemáticas] p [/ matemáticas], [matemáticas] e ^ {- i (2k + 1) \ frac pq \ pi} = e ^ {- ip \ pi} [/ matemáticas] es [matemáticas] 1 [/ matemáticas] o [matemáticas] -1 [/ matemáticas].

Visto como una función incompleta [math] \ mathbb R \ to \ mathbb R [/ math], no se define en la mayoría de los negativos, pero se define para todos los irracionales negativos con denominador impar (incluidos los enteros negativos) con signo alterno. En cualquier intervalo, puede encontrar infinitos valores que se ajustan a la descripción, por lo que el gráfico [math] y = x ^ x [/ math] se vería como dos líneas porosas, una positiva y una negativa, equivalente a [math] | x | ^ {- | x |} [/ math] y [math] – | x | ^ {- | x |} [/ math] respectivamente.

Por otro lado, podemos intentar el gráfico para [math] z = x ^ x [/ math], y elegir una rama principal para la posible solución para que tengamos un [math] \ mathbb R \ to \ mathbb C [ / math], por ejemplo, tomando [math] k = 0 [/ math] en [math] x = ue ^ {i (2k + 1) \ pi} [/ math].

En este caso [matemática] z = x ^ x [/ matemática], en los negativos se convierten en [matemática] z = u ^ {- 1} e ^ {- iu \ pi} [/ matemática]. Esta es una espiral con valores reales positivos cuando [math] x [/ math] es un entero par negativo y valores negativos cuando [math] x [/ math] es un entero impar negativo. Esta espiral no tiene ningún otro valor real en los negativos.

El eje x ^ x (con números complejos)
Proyecto de demostraciones de Wolfram
El eje del estudiante de segundo año: todo sobre la función x ^ x
1, 4, 27, 256, 3125, 46656, .. A000312 – OEIS

Recientemente gané interés en números complejos. Pensé que sería genial ver una función compleja en su totalidad en el espacio 4d. Pero eso sería muy, muy difícil de comprender y ver.

Sin embargo, todavía es posible tener una idea de una función de valor complejo. Si convierte [math] z ^ z [/ math] en forma cartesiana, puede ir a Desmos | Hermoso, matemática libre y trazarlo con un punto de dominio y un punto de rango (con la cuadrícula como el plano complejo).

Sin embargo, no se preocupe por hacer eso, porque ya lo hice yo mismo. Aquí está el enlace: Tetración compleja

Puede arrastrar el punto rojo alrededor de [math] \ mathbb {C} [/ math] y ver dónde termina el punto azul. Es asombroso.

También tengo otros:

Expoentiación Universal Compleja

Funciones de disparo complejas

Factorial complejo

Primero diferencie la función y = x ^ x. Su derivada es y ‘= x ^ x (1 + ln (x)). Ahora vea en qué punto (s) y ‘= 0. Entonces obtenemos

x ^ x (1+ ln (x)) = 0. El dominio de y ‘es x € (0, infinito).

Dado que x debería ser mayor que 0, ya que también está en potencia y x ^ x no puede convertirse en cero (ya que cero no está incluido en el dominio de la función) obtenemos,

1 + ln (x) = 0

Por lo tanto, ln (x) = -1

Por lo tanto x = e ^ -1

x = 1 / e.

Por lo tanto, la función tendrá máximos o mínimos en x = 1 / e. Veamos cómo la función cambia su dirección.

Para x € (0,1 / e], y ‘es negativo. Y para x € [1 / e, infinito) y’ es positivo. Entonces y ‘cambia de negativo a positivo en x = 1 / e. Por lo tanto

x = 1 / e es un punto de mínimos. Por lo tanto, en x = 1 / e, la función es mínima .

El dominio de y (que es de x ^ x) es [0, infinito).

Por lo tanto, contendrá el punto x = 0.

Entonces el gráfico será así

Es un poco duro. Pero puede ver que en x = 0, y = 1 (es decir, 0 ^ 0). Y el valor de y disminuye hasta que alcanza un valor mínimo en x = 1 / e para el cual y = (1 / e) ^ (1 / e) y pendiente = 0. Y a partir de entonces, el valor de y aumenta a medida que x aumenta hasta el infinito .

Puede dibujar el gráfico muy fácilmente después de aprender el cálculo diferencial y le sugiero que aprenda este tema de Amit m Agarwal. Hay un tema específico llamado dibujo de curvas en este libro. No creo que tenga ningún problema al dibujar este gráfico simple después de aprender a dibujar curvas.

¡¡¡¡Salud!!!!

@Bhumika Sharma gracias por A2A

Entrada

Como una serie

Mínimos

Trama

Límite

Derivado

Dominio

Solo se define para [matemáticas] x> 0 [/ matemáticas].