Para [matemática] 3n + x [/ matemática] cada [matemática] x> 1 [/ matemática] produce un bucle infinito de entrada-salida para [matemática] n = x [/ matemática].
Por ejemplo, para [matemáticas] (3 * 27) +27 [/ matemáticas] el bucle es [matemáticas] 27 → 108 → 54 → 27 [/ matemáticas].
Este es un hecho fundamental sobre las conjeturas de tipo Collatz, y sin embargo, no encontrará mucho, si es que dice algo, al respecto. Sea mi invitado, pruebe esta tesis en un sitio como Collatz Conjecture 3n + 1 Calculator (si no le importa que se bloquee cada vez debido al bucle infinito).
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¿Por qué, para [matemática] 3n + 1 [/ matemática], ¿puede [matemática] n [/ matemática] tener un valor mayor que [matemática] 1 [/ matemática] sin resultar en un bucle infinito? Para ser honesto, la primera oración debería haber leído “para [matemáticas] 3n + x [/ matemáticas] cada [matemáticas] x => 1 [/ matemáticas]”. Ahí radica una extraña contradicción, que creo que se puede probar.
Voy a excluir de la consideración los números pares. (Una prueba para los números pares o impares es una prueba para ambos). Esto se puede hacer con precisión utilizando una función * que genera un superconjunto adecuado de los números impares de una secuencia de Collatz:
[matemáticas] f (n) = \ begin {cases} n + \ frac {n + x} {2} & \ mbox {if} n + x \ equiv 0 \ mbox {(mod} 4) \\ n- \ frac {nx} {4} & \ mbox {if} nx \ equiv 0 \ mbox {(mod} 8) \\ \ frac {n- \ frac {n + x} {2}} {2} & \ mbox {de lo contrario } \ end {casos} [/ math]
Ahora, de acuerdo con esta función, si [matemática] n = x [/ matemática] entonces [matemática] n = f (n) [/ matemática]. Para cada otro valor de [math] n [/ math], [math] f (n) [/ math] será un valor diferente .
Para explicar por qué la función genera este resultado, considere que:
- [matemática] n + x [/ matemática] nunca puede ser [matemática] \ equiv 0 [/ matemática] [matemática] ([/ matemática] mod [matemática] 4) [/ matemática]
- [math] nx [/ math] solo puede ser [math] \ equiv 0 [/ math] [math] ([/ math] mod [math] 8) [/ math]
Por lo tanto,
[matemáticas] f (n) = n- \ frac {nx} {4} [/ matemáticas]
(Porque, por supuesto, si [matemática] nx = 0 [/ matemática] entonces [matemática] \ frac {nx} {4} = 0 [/ matemática].)
¡Espere! Acabo de demostrar por qué [matemáticas] n = f (n) [/ matemáticas] es cierto para cualquier caso donde [matemáticas] n = x [/ matemáticas].
[matemáticas] {\ grande n = f (n) \: \ forall \: n = x} [/ matemáticas]
Es tan cierto para [matemáticas] x = 1 [/ matemáticas] como para [matemáticas] x> 1 [/ matemáticas]. Significa que el bucle de entrada-salida con número impar de la función [math] 3n + 1 [/ math] es [math] 1 [/ math].
(Ya conocemos este ciclo “trivial”: [matemática] 1 → 1 [/ matemática] es equivalente a [matemática] 4 → 2 → 1 → 4 → 2 → 1 [/ matemática].)
Esta es una contradicción irónica, porque significa que probar la conjetura de Collatz en realidad significa no refutar la ciclicidad sino probarla solo para [matemáticas] 1 [/ matemáticas].
Sigue leyendo, se vuelve más interesante: ¿Has descubierto algo interesante sobre la Conjetura de Collatz?
* Es posible que desee asegurarse de que esta función hace lo que yo digo que hace.
