Cómo demostrar que [matemáticas] \ displaystyle \ frac {(n + 1) ^ {n-1}} {n ^ n} <1 [/ matemáticas]

Tenga en cuenta que esto es lo mismo que mostrar que [math] \ displaystyle \ frac {n ^ n} {(n + 1) ^ {n-1}} <1 [/ math]. Ahora, tenemos que [matemáticas] \ displaystyle \ frac {n ^ n} {(n + 1) ^ {n-1}} = \ frac {n ^ n} {(n + 1) ^ {- 1} ( n + 1) ^ n} = \ frac {n ^ n (n + 1)} {(n + 1) ^ n} = (n + 1) \ left (\ frac {n} {n + 1} \ right ) ^ n = (n + 1) \ left (1- \ frac {1} {n + 1} \ right) ^ n> (n + 1) \ left (1- \ frac {n} {n + 1} \ right) = 1-n + n = 1 [/ matemáticas]

Hola. Como este problema depende en gran medida del valor de n, lo he resuelto a mano en la imagen a continuación. He usado un método analítico para resolver el problema. Por favor hazme saber si tienes preguntas.

En casi todos los casos, el término tomado como B siempre afectará el valor del producto de una manera excelente.

Por ejemplo, en el caso (i), si el término A se valora entre 1 y 2, la multiplicación con B volverá a hacer que ese producto vuelva a menos de 1.

Si al comienzo del problema, si n es un decimal entre 0 y 1 (digamos 0.5), el enfoque del teorema binomial no puede usarse para analizar el resultado final.

vamos a corregirlo de esta manera:

[(n + 1) ^ n] / (n + 1) (n ^ n)

y ahora vamos a separarlo;

[(n + 1) ^ n] / (n ^ n) y 1 / (n + 1)

ahora desde n> 1;

[(n + 1) / n] ^ n siempre es menor que 1

nad también 1 / (n + 1) siempre es menor que 1

Si multiplica dos números más pequeños que 1, la respuesta siempre será menor que 1.

(n + 1) ^ (n-1) <= (n-1) ln (n + 1) <= nln (1 + 1 / n)

Sabemos que ln (1 + x) 0), entonces cuando n> 1, ln (1 + n)> 1 = n * (1 / n)> nln (1 + 1 / n)

QED

No es menos de uno para todos los valores.

Si n = 1, (2 ^ 0) / (1 ^ 1) = 1, lo que viola la condición.