¿Se puede compartir el mismo punto en múltiples posiciones en un espacio multidimensional?

De acuerdo, una aclaración rápida: aunque existe algo como, digamos, “espacio tridimensional”, no existe una “dimensión” individual. La idea de dimensión es que necesitamos dos coordenadas para identificar un punto particular en un globo, pero tres coordenadas para identificar un punto particular dentro de un edificio. Resulta que es muy difícil hacer que estas ideas sean matemáticamente precisas, debido a la existencia de objetos matemáticos ridículos y contraintuitivos como las curvas que llenan el espacio.

Colectores topológicos

El estándar de oro para una buena definición de dimensión es la variedad topológica. Un espacio topológico X es una variedad n-dimensional , o n-múltiple para abreviar, si cada punto de X tiene una vecindad que “parece” una bola abierta en el espacio euclidiano n-dimensional *. Solo hay dos colectores unidimensionales conectados: a saber, una línea o un círculo. Sin embargo, hay infinitas variedades bidimensionales:

etc. ** Para ver esto, toma un punto sobre uno de estos tipos y toma un vecindario de ese punto. Si el vecindario es lo suficientemente grande como para que “hayas capturado uno de los agujeros”, elige uno más pequeño que no dé la vuelta. Se verá como un disco abierto. Entonces estos son 2-múltiples. Claramente, podemos producir muchos más simplemente agregando otro agujero.

Colectores Singulares

Si tratamos de hacer este truco de “agregar otro agujero” en una dimensión, podríamos terminar con algo parecido a una figura 8. Pero esto no es un todo múltiple. Recuerde la definición de un distribuidor múltiple: cualquier punto en un distribuidor múltiple tiene un vecindario que parece un intervalo abierto. Esto es cierto para cada punto de la figura 8, excepto uno: el centro. Un vecindario del punto central de una figura 8 parece una X, sin importar cuán pequeño sea el vecindario ***.

Sin embargo, dado que la figura ocho está tan cerca de ser un 1-múltiple, probablemente pensarías que hay algo aquí que se puede salvar, y estarías en lo cierto. La figura ocho es un ejemplo de un singular 1 múltiple ****. La definición de una variedad con singularidades es un poco complicada si no estás acostumbrado a la idea matemática de estudiar cosas estudiando los mapas entre ellas, pero la idea básica es que Y es una variedad singular si hay alguna (no singular) ) Múltiple X y un mapeo suficientemente agradable nice de X sobre Y. (Un mapeo lleva cada punto de Y a un punto de X de manera continua). El mapeo φ se llama “resolución de singularidades”, porque nos permite ve a X como una versión de Y que no tiene singularidades.

Resoluciones de Singularidades

¿Qué significa que φ sea lo suficientemente agradable? Bueno, primero, para cualquier punto en Y necesitamos φ asignarle algo: si la imagen de φ es más pequeña que Y, entonces realmente no hemos resuelto las singularidades de Y, solo hemos resuelto las singularidades de algunos más pequeños espacio. En segundo lugar, para cualquier punto no singular de Y , probablemente solo queremos asignarle un punto de X. Finalmente, suponga que φ mapea algún punto x de X a algún punto no singular y de Y. (En notación matemática: φ (x) = y con y no singular.) Queremos que φ conserve la estructura múltiple de la bola en cada punto

Podemos elegir vecindarios de x e y que parecen bolas n-dimensionales, y de tal manera que φ lleva cada punto de nuestro vecindario de x a algún punto en nuestro vecindario de y. Si restringimos φ a este vecindario, es solo un mapa entre dos bolas n-dimensionales. (Estas “bolas” serían intervalos en la dimensión 1, o discos en la dimensión 2.) Ahora, hay varias formas de mapear de una bola a otra. Una forma sería enviar cada punto en la primera bola al mismo punto en la segunda bola. Esto sería “malo” para nuestros propósitos, porque de alguna manera no preserva la estructura de la pelota. Un mapa “bueno” sería aquel que representa una rotación o escala de la pelota.

Yendo a nuestro ejemplo donde X es la figura ocho, veamos cómo se ve una resolución de la singularidad. Consideraremos que Y es un círculo, que recordarán es un 1-múltiple perfectamente bueno. Ahora, así es como se ve nuestra resolución:

Supongamos que ponemos coordenadas en el círculo: asociemos los números 0 ≤ x <1 con los puntos del círculo tomando 0 como el punto en la parte inferior y aumentando en sentido horario, en la dirección de las flechas. El mapeo lleva estas coordenadas a la figura ocho: el centro de la figura ocho tiene la coordenada cero, los puntos en el bucle superior tienen coordenadas estrictamente entre 0 y 1/2, el centro también tiene la coordenada 1/2 y los puntos en el bucle inferior tienen coordenadas estrictamente entre 1/2 y 1.

Entonces, en una variedad singular, un punto singular puede tener más de un conjunto de coordenadas, incluso en una dimensión. Por supuesto, todo esto se extiende también a dimensiones superiores:

* El espacio euclidiano de 0 dimensiones es un punto único, por lo que una variedad de 0 dimensiones es un conjunto discreto de puntos.

** De hecho, además de esta familia, hay una familia de 2 múltiples compactos que no he mostrado, por la muy buena razón de que no se pueden incrustar en un espacio tridimensional. Y luego hay 2-manifolds no compactos.

*** Esto no es 100% cierto: si haces que el vecindario sea lo suficientemente grande, podría parecer ∝ u 8 en lugar de X, pero en cualquier caso, obviamente no puedes obtener una sola línea.

**** El observador entusiasta notará que una variedad singular no es una variedad. Entonces demandame, no inventé las palabras.