Anteriormente escribí un poco sobre la superficie cúbica lisa en mi respuesta
¿Por qué la “geometría algebraica” tiene geometría en su nombre?
Ese sería un buen primer lugar para buscar motivación si no conoce ninguna geometría algebraica. Aquí entraré en mucho, mucho más detalle. Como esta será necesariamente una respuesta muy larga y el objetivo de esta pregunta fue colaborativo, me complacería considerar las ediciones principales que completen el material de fondo.
- ¿Deberías hacer matemáticas en papel rayado o en blanco?
- ¿Cuál es la diferencia conceptual entre cohomología y cohomología grupal?
- Cómo determinar la suma de una secuencia si es tanto aritmética como geométrica
- ¿Cuál es la menor [matemática] n [/ matemática] para la cual [matemática] n!> 10 ^ n [/ matemática]?
- ¿Cómo se resuelven estos dos problemas?
Hay dos pruebas habituales esencialmente distintas de este resultado. Uno es rápido y sucio, mientras que el otro allana el camino para todo un campo de las matemáticas conocido como teoría de la intersección . Las dos respuestas se pueden leer esencialmente de forma independiente.
Tenga en cuenta que el material en esta respuesta podría llenar fácilmente 3 horas de seminario para estudiantes graduados de matemáticas. Me temo que comprender realmente las agallas de este resultado requiere una dedicación real. Sin embargo, algunas de las ideas involucradas, particularmente en la segunda respuesta, son realmente hermosas.
I. Argumento rápido y sucio. ¿Cómo puedes construir una superficie cúbica lisa en [math] \ mathbb {P} ^ 3 [/ math]? Por definición, debes tomar un polinomio homogéneo
[matemáticas] F (x, y, z, w) [/ matemáticas]
de grado 3 en cuatro variables y observe el locus cero. Si [math] F [/ math] no es demasiado especial , o en otras palabras, si [math] F [/ math] es suficientemente general , entonces el locus cero será una superficie cúbica lisa. Tenga en cuenta que algunos polinomios defectuosos como [math] F = x ^ 3 [/ math] definen objetos extremadamente singulares (en este caso, un plano triple ), por lo que no podemos considerar un polinomio arbitrario.
Una superficie singular.
Descripción de la explosión de una superficie cúbica. Aquí hay otra forma de construir una superficie cúbica lisa. Considere 6 puntos suficientemente aleatorios [math] p_1, \ ldots, p_6 [/ math] en un plano [math] \ mathbb {P} ^ 2 [/ math]. Digamos que las coordenadas homogéneas en [math] \ mathbb {P} ^ 2 [/ math] son [math] u, v, w [/ math]. Hay un espacio vectorial de 10 dimensiones de polinomios cúbicos en el plano, por lo que habrá 4 polinomios cúbicos independientes [matemática] f_1, \ ldots, f_4 [/ matemática] desapareciendo en los 6 puntos [matemática] p_1, \ ldots, p_6 [/matemáticas]. Luego obtenemos un mapa racional (es decir, no definido en todas partes)
[matemáticas] \ phi: \ mathbb {P} ^ 2 \ a \ mathbb {P} ^ 3 [/ matemáticas]
[matemática] [u: v: w] \ mapsto [f_1 (u, v, w): \ cdots: f_4 (u, v, w)] [/ math].
Este mapa no se define con precisión en los 6 puntos donde [math] f_i [/ math] se desvanecen simultáneamente. Si construimos la explosión
[math] X = \ mathrm {Bl} _ {p_1, \ ldots, p_6} \, \ mathbb {P} ^ 2 [/ math]
entonces hay un mapa natural [math] X \ to \ mathbb {P} ^ 2 [/ math] que contrae 6 divisores excepcionales [math] E_1, \ ldots, E_6 [/ math], que son copias de [math] \ mathbb {P} ^ 1 [/ math] sobre los 6 puntos. El mapa racional anterior [matemáticas] \ phi [/ matemáticas] luego se extiende a un morfismo
[matemáticas] \ phi ‘: X \ a \ mathbb {P} ^ 3 [/ matemáticas].
Entonces [math] \ phi ‘[/ math] es una incrustación , por lo que la imagen de [math] \ phi’ [/ math] es una superficie lisa [math] S \ subset \ mathbb {P} ^ 3 [/ math] abstracto isomorfo a [matemática] X [/ matemática].
Las superficies [matemática] X, \ mathbb {P} ^ 2 [/ matemática] y [matemática] S [/ matemática].
Proposición. [matemáticas] S [/ matemáticas] es una superficie cúbica lisa.
Prueba. Solo necesitamos verificar que [math] H ^ 2 = 3 [/ math] en [math] S [/ math], donde [math] H [/ math] es la clase de un hiperplano en [math] \ mathbb { P} ^ 3 [/ matemáticas]. Aquí [math] H ^ 2 [/ math] significa la auto-intersección de [math] H [/ math]. Intuitivamente, [matemática] H [/ matemática] representa una curva en [matemática] S [/ matemática] obtenida intersectando [matemática] S [/ matemática] con un hiperplano, y [matemática] H ^ 2 [/ matemática] representa el cantidad de puntos en [matemática] S [/ matemática] que obtenemos cuando intersectamos esta curva con otro hiperplano.
Para calcular [matemáticas] H ^ 2 [/ matemáticas], trabajamos en la superficie [matemáticas] X [/ matemáticas]. Una sección de hiperplano de [matemática] S [/ matemática] es, por definición, la imagen de una curva cúbica en [matemática] X [/ matemática] que pasa por los 6 puntos [matemática] p_1, \ ldots, p_6 [/ matemática]. Dicha curva tiene la clase [matemáticas] 3L – E_1- \ cdots – E_6 [/ matemáticas] en [matemáticas] X [/ matemáticas], donde [matemáticas] L [/ matemáticas] es la clase de una línea en [matemáticas] X [/ math] que no encuentra ningún punto [math] p_i [/ math]. Las clases de curvas en [matemáticas] X [/ matemáticas] se cruzan de la siguiente manera:
- [matemática] L ^ 2 = 1 [/ matemática], ya que dos líneas en [matemática] \ mathbb {P} ^ 2 [/ matemática] se encuentran en un punto.
- [matemática] L \ cdot E_i = 0 [/ matemática] para todos [matemática] i [/ matemática] desde
[math] L [/ math] es la clase de una línea que no cumple ningún punto [math] p_i [/ math]. - [matemáticas] E_i \ cdot E_j = 0 [/ matemáticas] para distintas [matemáticas] i, j [/ matemáticas] ya que estas curvas son disjuntas.
- [matemática] E_i ^ 2 = -1 [/ matemática] para todos [matemática] i [/ matemática]. Este es un hecho estándar sobre las explosiones. Puede probarse observando que [math] L-E_i [/ math] es la clase de una línea que pasa por el punto [math] p_i [/ math], de modo que [math] (L-E_i) \ cdot E_i = 1 [/ matemáticas].
Entonces se sigue que
[matemáticas] H ^ 2 = (3L-E_1- \ cdots-E_6) ^ 2 = 9-6 = 3 [/ matemáticas],
de hecho, [matemáticas] S [/ matemáticas] es una superficie cúbica lisa.
Líneas en S. ¿Cómo se ve una línea en [matemáticas] S [/ matemáticas]?
Lema Si [math] \ ell [/ math] es una línea en [math] S [/ math], entonces [math] \ ell ^ 2 = -1 [/ math] en [math] S [/ math]. Por el contrario, si [math] C \ subset S [/ math] es una curva racional suave e irreductible con [math] C ^ 2 = -1 [/ math], entonces [math] C [/ math] es una línea.
Prueba. La clave para esto es la fórmula adjunta . Esto dice que si [math] C \ subset S [/ math] es una curva suave del género [math] g [/ math], entonces
[matemáticas] 2g-2 = C \ cdot (C + K_S) [/ matemáticas]
donde [math] K_S [/ math] es la clase canónica de [math] S [/ math]. Es un hecho que para cualquier superficie cúbica lisa, [math] K_S = -H [/ math].
Primero considere una línea [math] \ ell \ subset S [/ math]. Entonces [math] \ ell \ cdot H = 1 [/ math] y [math] \ ell [/ math] tiene el género [math] 0 [/ math]. Concluimos del adjunto que
[matemáticas] -2 = \ ell ^ 2-1 [/ matemáticas]
y así [matemáticas] \ ell ^ 2 = -1 [/ matemáticas].
Por el contrario, suponga que [math] C \ subset S [/ math] es una curva racional suave e irreductible con [math] C ^ 2 = -1 [/ math]. Luego por adjunto
[matemáticas] -2 = -1 -C \ cdot H [/ matemáticas]
y entonces [matemáticas] C \ cdot H = 1 [/ matemáticas]. Por lo tanto, [matemáticas] C [/ matemáticas] tiene un grado 1 y es una línea.
Por lo tanto, podemos caracterizar líneas en [math] S [/ math] por su auto-intersección. Queremos encontrar todas las “curvas (-1)” en [matemática] S [/ matemática]: las curvas racionales suaves de la auto-intersección -1.
Recuento de líneas. Ahora usamos la descripción detallada de [math] S [/ math] para contar las líneas en la superficie. Aquí hay 27 curvas racionales en [matemáticas] X [/ matemáticas] de auto-intersección -1; su imagen en [matemáticas] S [/ matemáticas] es una línea.
- Los divisores excepcionales [matemática] E_1, \ ldots, E_6 [/ matemática] son racionales de auto-intersección -1. Esto da 6 líneas.
- Una línea que pasa por los puntos [math] p_i, p_j [/ math] tiene la clase [math] H-E_i-E_j [/ math]. La auto intersección es [matemática] (H-E_i-E_j) ^ 2 = 1-2 = -1 [/ matemática]. Obtenemos [math] {6 \ choose 2} = 15 [/ math] líneas de esta manera.
- Una cónica que pasa por los primeros 5 puntos [matemática] p_1, \ ldots, p_5 [/ matemática] es una curva racional de la clase [matemática] 2L-E_1- \ cdots -E_5 [/ matemática]. La auto intersección es [matemática] (2L-E_1- \ cdots-E_5) ^ 2 = 4-5 = -1 [/ matemática]. De manera más general, una cónica a través de 5 de los 6 puntos tiene las propiedades requeridas. Tenemos 6 líneas más.
¡Así hemos encontrado un total de 27 líneas!
Para ver que estas son las únicas líneas en [matemáticas] S [/ matemáticas], debemos descartar que pueda haber otras clases [matemáticas] D = aL – b_1E_1- \ cdots -b_6E_6 [/ matemáticas] de curvas racionales irreducibles con auto-intersección -1. Aquí [math] a> 0 [/ math], y [math] b_i \ geq 0 [/ math]. Demostremos que cualquier clase de este tipo [matemáticas] D [/ matemáticas] es en realidad una de las clases enumeradas anteriormente.
Tenemos dos igualdades satisfechas por los números [matemáticas] a, b_1, \ ldots, b_6 [/ matemáticas]. Primero, por el hecho de que la auto-intersección es [matemática] -1 [/ matemática], obtenemos
[matemáticas] a ^ 2- \ sum b_i ^ 2 = -1 [/ matemáticas].
A continuación, del adjunto tenemos
[matemáticas] -2 = -1 + D \ cdot K_X [/ matemáticas].
Aquí [matemáticas] K_X = -3L + E_1 + \ cdots + E_6 [/ matemáticas] así que concluimos
[matemáticas] 3a- \ sum b_i = 1 [/ matemáticas].
La desigualdad de Cauchy-Schwarz aplicada a los vectores [math] (1, \ ldots, 1) [/ math] y [math] (b_1, \ ldots, b_6) [/ math] da
[matemáticas] (\ sum b_i) ^ 2 \ leq 6 \ sum b_i ^ 2 [/ matemáticas].
Al poner [math] \ sum b_i = 3a-1 [/ math] y [math] \ sum b_i ^ 2 = a ^ 2 + 1 [/ math], obtenemos
[matemáticas] (3a-1) ^ 2 \ leq 6 (a ^ 2 + 1) [/ matemáticas].
Simplificando un poco,
[matemáticas] 3a ^ 2-6a-5 \ leq 0 [/ matemáticas].
Ciertamente, entonces [matemática] a <3 [/ matemática] y, por lo tanto, [matemática] a = 1 [/ matemática] o [matemática] a = 2 [/ matemática]. Es fácil ver que en estos casos las únicas posibilidades son las que hemos encontrado.
Resumiendo,
Proposición. Cualquier superficie cúbica lisa [matemática] S [/ matemática] que se puede obtener como la explosión del avión en 6 puntos suficientemente generales contiene exactamente 27 líneas.
Un hueco. Hay una cosa que no hemos discutido todavía. Hemos visto algunas superficies cúbicas lisas que son la explosión del avión en [math] 6 [/ math] puntos generales. No es difícil ver que una superficie cúbica general es una explosión del avión en 6 puntos. Podemos ver esto por un recuento de dimensiones:
- Un polinomio homogéneo de grado 3 en 4 variables tiene coeficientes [matemáticos] {6 \ elegir 3} = 20 [/ matemáticos]. Una superficie cúbica se describe mediante tal ecuación, pero las ecuaciones que son múltiplos entre sí dan la misma superficie. Por lo tanto, existe un espacio irreducible de 19 dimensiones de superficies cúbicas. Las superficies cúbicas lisas forman un subconjunto denso y abierto de este espacio.
- Una explosión de [math] \ mathbb {P} ^ 2 [/ math] en 6 puntos depende de las posiciones de los 6 puntos en el plano, lo que da 12 parámetros. Obtendremos la misma explosión si los 6 puntos difieren por un automorfismo del plano, es decir, por un elemento del grupo lineal proyectivo PGL (3), reduciendo el número de parámetros en 8 a 4. Luego para incrustar esta explosión en el espacio , elegimos una base del espacio de los cúbicos que desaparecen en los 6 puntos; este es un espacio de 4 dimensiones, por lo que nos da 16 parámetros para un total de 20. Pero la incrustación solo depende de los escalares del módulo base, por lo que finalmente concluimos que hay 19 parámetros.
De ello se deduce que el lugar geométrico de las superficies cúbicas lisas que se pueden obtener como una explosión del plano forman un subconjunto abierto y denso del espacio de las superficies cúbicas lisas. Así hemos demostrado:
Teorema. Una superficie cúbica lisa general contiene exactamente 27 líneas.
De hecho, es cierto que cualquier superficie cúbica lisa se puede obtener como una explosión de esta manera, pero este es un teorema mucho más difícil.
II Teoría de la intersección. El otro argumento para mostrar que una superficie cúbica tiene 27 líneas se siente mucho más “mágico” que el argumento de la explosión. Podremos demostrar que debe haber 27 líneas sin exhibir una sola superficie que tenga 27 líneas.
El Grassmannian. El conjunto de líneas en el espacio proyectivo [math] \ mathbb {P} ^ 3 [/ math] está parametrizado por un espacio muy agradable, llamado Grassmannian [math] G = \ mathbb {G} (1,3) [/ math ] de líneas en [math] \ mathbb {P} ^ 3 [/ math]. De manera equivalente, si el espacio proyectivo [math] \ mathbb {P} ^ 3 [/ math] es visto como la proyectivización de [math] \ mathbb {C} ^ 4 [/ math], entonces el Grassmannian parametriza subespacios bidimensionales espacio vectorial La proyectización de cualquiera de estos subespacios bidimensionales es una línea en [math] \ mathbb {P} ^ 3 [/ math].
La idea es que para calcular el número de líneas en una superficie cúbica lisa [matemática] S [/ matemática], en su lugar, calcularemos la clase de cohomología del locus de líneas en [matemática] S [/ matemática] en el Grassmannian. Para hacer esto, necesitaremos comprender el anillo de cohomología del Grassmannian.
Células de Schubert. Cualquier punto en Grassmannian [math] G [/ math] puede verse como un subespacio bidimensional [math] \ mathbb {C} ^ 2 \ subset \ mathbb {C} ^ 4 [/ math]. En consecuencia, podemos ver cualquier punto como la imagen de un mapa lineal inyectivo [math] \ mathbb {C} ^ 2 \ to \ mathbb {C} ^ 4 [/ math]. Tal mapa se especifica mediante una matriz [math] 4 \ times 2 [/ math]
[matemáticas] \ begin {pmatrix}
\ ast & \ ast \\
\ ast & \ ast \\
\ ast & \ ast \\
\ ast & \ ast
\ end {pmatrix}
[/matemáticas]
donde [math] \ ast [/ math] denota alguna entrada arbitraria. Por supuesto, muchas matrices posibles tienen la misma imagen; Las columnas de una matriz corresponden a una base de la imagen de 2 planos. Podemos elegir una base distinguida para el plano 2 de la imagen tomando cualquier matriz cuya imagen sea el plano 2 y reduciéndola a una de las siguientes formas mediante operaciones de columna elementales.
[matemáticas] \ begin {pmatrix}
\ ast & \ ast \\
\ ast & \ ast \\
1 y 0 \\
0 y 1
\ end {pmatrix}
\ begin {pmatrix}
\ ast & \ ast \\
1 y 0 \\
0 & \ ast \\
0 y 1
\ end {pmatrix}
\ begin {pmatrix}
1 y 0 \\
0 & \ ast \\
0 & \ ast \\
0 y 1
\ end {pmatrix} [/ math]
[matemáticas]
\ begin {pmatrix}
\ ast & \ ast \\
1 y 0 \\
0 y 1 \\
0 y 0
\ end {pmatrix}
\ begin {pmatrix}
1 y 0 \\
0 & \ ast \\
0 y 1 \\
0 y 0
\ end {pmatrix}
\ begin {pmatrix}
1 y 0 \\
0 y 1 \\
0 y 0 \\
0 y 0
\ end {pmatrix} [/ math]
Las células de Schubert son los loci en el Grassmannian correspondientes a puntos con una de estas formas normales dadas. Se denotan por [math] \ Sigma_ {i, j} [/ math] con [math] 0 \ leq j \ leq i \ leq 2 [/ math], donde [math] i [/ math] es tal que [ math] i [/ math] más el número de [math] \ ast [/ math] en la primera columna es 2; [math] j [/ math] se define de manera similar con respecto a la segunda columna:
[matemáticas] \ Sigma_ {0,0} = \ begin {pmatrix}
\ ast & \ ast \\
\ ast & \ ast \\
1 y 0 \\
0 y 1
\ end {pmatrix}
\ qquad \ Sigma_ {1,0} =
\ begin {pmatrix}
\ ast & \ ast \\
1 y 0 \\
0 & \ ast \\
0 y 1
\ end {pmatrix}
[/matemáticas]
[matemáticas]
\ Sigma_ {2,0} = \ begin {pmatrix}
1 y 0 \\
0 & \ ast \\
0 & \ ast \\
0 y 1
\ end {pmatrix} \ qquad
\ Sigma_ {1,1} =
\ begin {pmatrix}
\ ast & \ ast \\
1 y 0 \\
0 y 1 \\
0 y 0
\ end {pmatrix}
[/matemáticas]
[matemáticas]
\ Sigma_ {2,1} =
\ begin {pmatrix}
1 y 0 \\
0 & \ ast \\
0 y 1 \\
0 y 0
\ end {pmatrix}
\ qquad
\ Sigma_ {2,2} =
\ begin {pmatrix}
1 y 0 \\
0 y 1 \\
0 y 0 \\
0 y 0
\ end {pmatrix} [/ math]
Como los [math] \ ast [/ math] representan cualquier número, encontramos que cada [math] \ Sigma_ {i, j} [/ math] es isomorfo a un espacio afín [math] \ mathbb {C} ^ n [/ math], donde [math] n [/ math] es el número de [math] \ ast [/ math] ‘s en las matrices correspondientes.
Cada punto del Grassmannian se encuentra exactamente en una de las células de Schubert, por lo que las células estratifican el Grassmannian en espacios afines. Alternativamente, en términos topológicos, le dan al Grassmanniano la estructura de un complejo CW. Todas las celdas de esta descomposición CW se encuentran incluso en una dimensión real. Luego se deduce que las clases de cohomología [matemáticas] \ sigma_ {i, j} [/ matemáticas] de los cierres de las células de Schubert forman una base para los grupos de cohomología de [matemáticas] G [/ matemáticas].
Proposición. Los grupos de cohomología de [matemáticas] G [/ matemáticas] son
[matemáticas] H ^ 0 (G, \ mathbb {Z}) = \ mathbb {Z} \ sigma_ {0,0} [/ matemáticas]
[matemáticas] H ^ 2 (G, \ mathbb {Z}) = \ mathbb {Z} \ sigma_ {1,0} [/ matemáticas]
[matemáticas] H ^ 4 (G, \ mathbb {Z}) = \ mathbb {Z} \ sigma_ {2,0} \ oplus \ mathbb {Z} \ sigma_ {1,1} [/ matemáticas]
[matemáticas] H ^ 6 (G, \ mathbb {Z}) = \ mathbb {Z} \ sigma_ {2,1} [/ matemáticas]
[matemáticas] H ^ 8 (G, \ mathbb {Z}) = \ mathbb {Z} \ sigma_ {2,2} [/ matemáticas]
Las clases [matemáticas] \ sigma_ {i, j} [/ matemáticas] se llaman los ciclos de Schubert.
Descripción geométrica de los ciclos de Schubert. La descripción previa de las células de Schubert en términos de matrices es bastante difícil de visualizar. Es útil llegar a una interpretación geométrica de estos loci.
Arregle una bandera de subvariedades lineales del espacio proyectivo [math] \ mathbb {P} ^ 3 [/ math]. Esta es una cadena
[matemática] p \ en L \ subconjunto H \ subconjunto \ mathbb {P} ^ 3 [/ matemática]
que consiste en un punto, una línea y un plano, todos anidados dentro del siguiente. En términos de coordenadas homogéneas en [math] \ mathbb {P} ^ 3 [/ math], también podemos tomar
[matemáticas]
p = [1: 0: 0: 0]
[/matemáticas]
[matemáticas]
L = \ {[*: *: 0: 0] \}
[/matemáticas]
[matemáticas]
H = \ {[*: *: *: 0] \}
[/matemáticas]
donde los [math] * [/ math] pueden volver a ser números arbitrarios. Entonces los ciclos de Schubert [math] \ sigma_ {i, j} [/ math] pueden representarse mediante los siguientes loci geométricos (volver a la descripción de la matriz de [math] \ Sigma_ {i, j} [/ math] para mira esto.)
[matemáticas] \ sigma_ {0,0} = G [/ matemáticas]
[math] \ sigma_ {1,0} = \ {\ ell: \ ell \ cap L \ neq \ emptyset \} [/ math]
[matemáticas] \ sigma_ {2,0} = \ {\ ell: p \ in \ ell \} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ sigma_ {1,1} = \ {\ ell: \ ell \ subset H \} [/ matemáticas]
[math] \ sigma_ {2,1} = \ {\ ell: p \ in \ ell \ subset H \} [/ math]
[matemáticas] \ sigma_ {2,2} = \ {L \} [/ matemáticas]
Representación gráfica de los interesantes ciclos de Schubert.
El anillo de cohomología del Grassmannian. Conocemos los grupos de cohomología del Grassmannian. A continuación, debemos descubrir cómo multiplicar estas clases. La multiplicación en el Grassmannian puede interpretarse como un producto de intersección , a través de la dualidad de Poincare. Más precisamente, suponga que [matemática] X [/ matemática] es una variedad compleja, y [matemática] M, N \ subconjunto X [/ matemática] son submanifolds que se cruzan transversalmente. Entonces, si [matemáticas] [M] [/ matemáticas] denota la clase fundamental de [matemáticas] M [/ matemáticas] en homología, tenemos
[matemáticas] PD [M] \ cdot PD [N] = [M \ cap N] [/ matemáticas]
donde PD denota Poincare dual. Es decir, el producto de intersección es un producto Poincare dual to cup. Por lo tanto, comprender el anillo de cohomología del Grassmannian equivale a comprender cómo las células de Schubert se cruzan entre sí.
Hay una cuestión clave: digamos, por ejemplo, que queremos calcular una auto-intersección, como [math] \ sigma_ {2,0} \ cdot \ sigma_ {2,0} [/ math]. Si representamos [math] \ sigma_ {2,0} [/ math] por una variedad como [math] \ {\ ell: p \ in \ ell \} [/ math], entonces esto obviamente no se intersecta transversalmente . Lo que podemos hacer es representar cada una de las dos celdas por diferentes colectores para que se crucen transversalmente. Una forma de hacerlo es arreglar dos banderas generales
[matemática] p \ en L \ subconjunto H \ subconjunto \ mathbb {P} ^ 3 [/ matemática]
[matemática] p ‘\ en L’ \ subconjunto H ‘\ subconjunto \ mathbb {P} ^ 3 [/ matemática]
y considere los ciclos de Schubert [matemática] \ sigma_ {i, j} [/ matemática] y [matemática] \ sigma ‘_ {i, j} [/ matemática] definidos con respecto a cada bandera. Entonces su intersección será transversal, y solo necesitamos entender geométricamente cómo se ve esta intersección.
Nuestra tarea ahora es completar una tabla de multiplicación para los generadores de los grupos de cohomología.
[matemáticas]
\ begin {array} {c | cccccc}
& \ sigma_ {00} & \ sigma_ {10} & \ sigma_ {20} & \ sigma_ {11} & \ sigma_ {21} y \ sigma_ {22} \\ \ hline
\ sigma_ {00} y \\
\ sigma_ {10} y \\
\ sigma_ {20} y \\
\ sigma_ {11} y \\
\ sigma_ {21} y \\
\ sigma_ {22} y \\
\ end {array}
[/matemáticas]
Comenzamos observando que [math] \ sigma_ {00} [/ math] es la identidad, ya que está representada por todo el Grassmannian.
[matemáticas]
\ begin {array} {c | cccccc}
& \ sigma_ {00} & \ sigma_ {10} & \ sigma_ {20} & \ sigma_ {11} & \ sigma_ {21} y \ sigma_ {22} \\ \ hline
\ sigma_ {00} y \ sigma_ {00} y \ sigma_ {10} y \ sigma_ {20} y \ sigma_ {11} y \ sigma_ {21} y \ sigma_ {22} \\
\ sigma_ {10} y \ sigma_ {10} \\
\ sigma_ {20} y \ sigma_ {20} \\
\ sigma_ {11} y \ sigma_ {11} \\
\ sigma_ {21} y \ sigma_ {21} \\
\ sigma_ {22} y \ sigma_ {22} \\
\ end {array}
[/matemáticas]
Saltemos la auto-intersección [math] \ sigma_ {10} ^ 2 [/ math] por ahora, ya que esta es la entrada más difícil en toda la tabla.
- Para calcular [math] \ sigma_ {10} \ cdot \ sigma_ {20} [/ math], debemos mirar la intersección [math] \ sigma_ {10} \ cap \ sigma ‘_ {20} [/ math]. Este es el conjunto de líneas que se encuentran con [math] L [/ math] y contienen [math] p ‘[/ math], el punto de la segunda bandera. Dicho de otra manera, [matemática] L [/ matemática] y [matemática] p ‘[/ matemática] abarcan un plano, y la intersección es precisamente aquellas líneas contenidas en este plano que contienen [matemática] p’ [/ matemática]. Es decir, el producto es [math] \ sigma_ {21} [/ math].
- Para [math] \ sigma_ {10} \ cdot \ sigma_ {11} [/ math], la intersección [math] \ sigma_ {10} \ cap \ sigma_ {11} ‘[/ math] consiste en líneas que se unen [math] L [/ math] y contenido en [math] H ‘[/ math]. La línea [matemática] L [/ matemática] se encuentra con [matemática] H ‘[/ matemática] en un punto único, por lo que este es exactamente el conjunto de líneas contenidas en [matemática] H’ [/ matemática] y que contiene el punto [matemática ] L \ cap H ‘[/ matemáticas]. Nuevamente, la clase de la intersección es [math] \ sigma_ {21} [/ math].
- Luego, [math] \ sigma_ {10} \ cap \ sigma_ {21} ‘[/ math] consiste en líneas que se encuentran [math] L [/ math] que están contenidas en [math] H’ [/ math] y contienen el punto [matemáticas] p ‘[/ matemáticas]. Hay una línea única, a saber, la línea entre los puntos [matemática] p ‘[/ matemática] y [matemática] L \ cap H’ [/ matemática]. La intersección es [math] \ sigma_ {22} [/ math].
- Como [math] \ sigma_ {22} [/ math] es la clase de un punto, intersecta todas las celdas excepto [math] \ sigma_ {00} [/ math] en 0.
Completemos los cálculos anteriores en nuestra tabla de multiplicar.
[matemáticas]
\ begin {array} {c | cccccc}
& \ sigma_ {00} & \ sigma_ {10} & \ sigma_ {20} & \ sigma_ {11} & \ sigma_ {21} y \ sigma_ {22} \\ \ hline
\ sigma_ {00} y \ sigma_ {00} y \ sigma_ {10} y \ sigma_ {20} y \ sigma_ {11} y \ sigma_ {21} y \ sigma_ {22} \\
\ sigma_ {10} y \ sigma_ {10} &? & \ sigma_ {21} & \ sigma_ {21} & \ sigma_ {22} & 0 \\
\ sigma_ {20} y \ sigma_ {20} y \ sigma_ {21} &&&& 0 \\
\ sigma_ {11} & \ sigma_ {11} & \ sigma_ {21} &&&& 0 \\
\ sigma_ {21} & \ sigma_ {21} & \ sigma_ {22} &&&& 0 \\
\ sigma_ {22} y \ sigma_ {22} y 0 y 0 y 0 y 0 y 0 \\
\ end {array}
[/matemáticas]
Ejercicio. Usando una lógica similar a los cálculos anteriores, calcule todas las entradas además de [math] \ sigma_ {10} ^ 2 [/ math] para obtener la tabla
[matemáticas]
\ begin {array} {c | cccccc}
& \ sigma_ {00} & \ sigma_ {10} & \ sigma_ {20} & \ sigma_ {11} & \ sigma_ {21} y \ sigma_ {22} \\ \ hline
\ sigma_ {00} y \ sigma_ {00} y \ sigma_ {10} y \ sigma_ {20} y \ sigma_ {11} y \ sigma_ {21} y \ sigma_ {22} \\
\ sigma_ {10} y \ sigma_ {10} &? & \ sigma_ {21} & \ sigma_ {21} & \ sigma_ {22} & 0 \\
\ sigma_ {20} y \ sigma_ {20} y \ sigma_ {21} y \ sigma_ {22} y 0 y 0 y 0 \\
\ sigma_ {11} y \ sigma_ {11} y \ sigma_ {21} y 0 y \ sigma_ {22} y 0 y 0 \\
\ sigma_ {21} y \ sigma_ {21} y \ sigma_ {22} y 0 y 0 y 0 y 0 \\
\ sigma_ {22} y \ sigma_ {22} y 0 y 0 y 0 y 0 y 0 \\
\ end {array}
[/matemáticas]
Finalmente, abordemos la entrada desconocida [math] \ sigma_ {1,0} ^ 2 [/ math]. Como esta es una clase de [matemáticas] H ^ 4 (G, \ mathbb {Z}) [/ matemáticas], podemos escribir
[matemáticas] \ sigma_ {10} ^ 2 = a \ sigma_ {20} + b \ sigma_ {11} [/ matemáticas]
para algunos enteros [matemática] a, b [/ matemática] que debemos determinar. Usando nuestro conocimiento de la multiplicación en el anillo de cohomología, vemos que
[matemáticas] \ sigma_ {10} ^ 2 \ cdot \ sigma_ {20} = a \ sigma_ {22} [/ matemáticas]
y
[matemática] \ sigma_ {10} ^ 2 \ cdot \ sigma_ {11} = b \ sigma_ {22} [/ matemática].
Entonces solo debemos calcular estas intersecciones triples. Para hacer esto, definimos ciclos con respecto a tres banderas y examinamos la interesección correspondiente, por ejemplo
[matemáticas] \ sigma_ {10} \ cap \ sigma_ {10} ‘\ cap \ sigma_ {20}’ ‘. [/ matemáticas]
Esta intersección consta de las líneas [math] \ ell [/ math] que se encuentran [math] L [/ math], se encuentran [math] L ‘[/ math] y contienen [math] p’ ‘[/ math]. Entonces [math] L [/ math] y [math] p ” [/ math] abarcan un plano, digamos [math] H ” ‘[/ math], y la única línea es la línea entre [math] p ” [/ math] y el punto [math] L ‘\ cap H’ ” [/ math]. Concluimos [matemáticas] a = 1 [/ matemáticas].
Ejercicio. De manera similar, muestre [matemáticas] b = 1 [/ matemáticas].
¡Por fin, contempla la tabla de multiplicación final para el anillo de cohomología del Grassmannian!
[matemáticas]
\ begin {array} {c | cccccc}
& \ sigma_ {00} & \ sigma_ {10} & \ sigma_ {20} & \ sigma_ {11} & \ sigma_ {21} y \ sigma_ {22} \\ \ hline
\ sigma_ {00} y \ sigma_ {00} y \ sigma_ {10} y \ sigma_ {20} y \ sigma_ {11} y \ sigma_ {21} y \ sigma_ {22} \\
\ sigma_ {10} y \ sigma_ {10} y \ sigma_ {20} + \ sigma_ {11} y \ sigma_ {21} y \ sigma_ {21} y \ sigma_ {22} y 0 \\
\ sigma_ {20} y \ sigma_ {20} y \ sigma_ {21} y \ sigma_ {22} y 0 y 0 y 0 \\
\ sigma_ {11} y \ sigma_ {11} y \ sigma_ {21} y 0 y \ sigma_ {22} y 0 y 0 \\
\ sigma_ {21} y \ sigma_ {21} y \ sigma_ {22} y 0 y 0 y 0 y 0 \\
\ sigma_ {22} y \ sigma_ {22} y 0 y 0 y 0 y 0 y 0 \\
\ end {array}
[/matemáticas]
Chern clases. Deje que [math] X [/ math] sea una variedad suave y deje que [math] E [/ math] sea un paquete de vectores (complejo) en [math] X [/ math] de rango [math] r [/ math]. Suponga que [math] E [/ math] tiene [math] r-k + 1 [/ math] secciones [math] s_1, \ ldots, s_ {r-k + 1} [/ math] que se cruzan transversalmente. Por definición, esto significa que la sección [matemática] i [/ matemática], vista como un submanifiesto del espacio total de [matemática] E [/ matemática], intersecta la subvariedad de [matemática] [[matemática] abarcada por las secciones [matemáticas] s_1, \ ldots, s_ {i-1} [/ matemáticas] transversalmente. Un caso especial importante es el caso [matemáticas] i = 1 [/ matemáticas]; entonces transversalidad significa que [math] s_1 [/ math] intersecta la sección cero transversalmente. 
Una sección de un paquete de vectores. El cero a la izquierda es transversal; el de la derecha no lo es.
Dada tal configuración, el locus de degeneración [matemática] D_k [/ matemática] es la subvariedad
[matemática] D_k = \ {x \ en X: s_1 (x), \ ldots, s_ {r-k + 1} (x) \, \ textrm {dependiente} \} [/ matemática].
(Recuerde que [math] s_i (x) [/ math] son vectores en la fibra [math] E_x \ cong \ mathbb {C} ^ r [/ math] del paquete de vectores [math] E [/ math]) . Entonces [math] D_k [/ math] es una subvariedad de codimensión (compleja) [math] k [/ math], por lo que el dual Poincare de su clase fundamental es una clase de cohomología
[matemáticas] c_k (E) \ en H ^ {2k} (X, \ mathbb {Z}) [/ matemáticas].
De hecho, es posible generalizar esta construcción incluso cuando no tenemos las secciones de [math] E [/ math]; para cada [math] k \ geq 0 [/ math] siempre hay una clase de kth Chern [math] c_k (E) [/ math] como arriba.
Herramientas para calcular clases de Chern. Una cosa sorprendente sobre las clases de Chern es que son extremadamente computables. Esto se reduce a las siguientes tres herramientas.
- Paquetes de línea. Si [math] L [/ math] es un conjunto de líneas que tiene una sección regular [math] s [/ math], entonces [math] c_0 (L) = 1 [/ math] (aquí 1 denota la identidad en cohomología, Poincare dual a la clase fundamental de [matemática] X [/ matemática]) y [matemática] c_1 (L) [/ matemática] es el lugar cero de [matemática] s [/ matemática]. Las clases superiores de Chern se desvanecen.
- Fórmula de la suma de Whitney. La clase total de Chern de [matemáticas] E [/ matemáticas] se define como [matemáticas] c (E) = \ sum c_i (E) \ en H ^ * (X, \ mathbb {Z}) [/ matemáticas]. Entonces, si tenemos una secuencia exacta de paquetes de vectores [matemática] 0 \ a E \ a F \ a G \ a 0 [/ matemática], las clases totales de Chern satisfacen [matemática] c (F) = c (E) c ( G) [/ matemáticas].
- Principio de división. Si una fórmula universal para las clases de Chern de un paquete derivado de otros paquetes se cumple siempre que esos paquetes sean sumas directas de paquetes de líneas, entonces se cumple incluso sin esta suposición.
El principio de división es difícil de entender al principio. Aquí hay un ejemplo de su aplicación que debería iluminarlo.
Ejemplo. Supongamos que [math] E [/ math] es un paquete de vectores de rango 2. Calcule las clases de Chern de [math] F = \ mathrm {Sym} ^ 3 \, E [/ math] en términos de las clases de Chern de [math] E [/ math].
Comenzamos asumiendo que [math] E = L \ oplus M [/ math] es una suma directa de paquetes de líneas. Luego diga [math] c (L) = 1+ \ alpha [/ math] y [math] c (M) = 1+ \ beta [/ math]; aquí [matemáticas] \ alpha = c_1 (L) [/ matemáticas] y [matemáticas] \ beta = c_1 (M) [/ matemáticas]. Por la fórmula de la suma de Whitney, encontramos
[matemáticas] c_1 (E) = \ alpha + \ beta [/ matemáticas]
[matemáticas] c_2 (E) = \ alpha \ beta [/ matemáticas].
Ahora [matemáticas] F [/ matemáticas] es isomorfo a
[matemáticas] L ^ {\ otimes 3} \ oplus (L ^ 2 \ otimes M) \ oplus (L \ otimes M ^ {\ otimes 2}) \ oplus M ^ {\ otimes 3} [/ math]
y encontramos por la fórmula de la suma de Whitney que [matemáticas] c (F) [/ matemáticas] es
[matemática] (1 + 3 \ alpha) (1 + 2 \ alpha + \ beta) (1+ \ alpha + 2 \ beta) (1 + 3 \ beta). [/ math]
Expandiendo y recolectando términos de los mismos grados, esto es
[matemáticas] 1 + (6 \ alpha + 6 \ beta) + \ cdots + 9 (2 \ alpha ^ 3 \ beta + 5 \ alpha ^ 2 \ beta ^ 2 + 2 \ alpha \ beta ^ 3) [/ math] .
Expresado en términos de las clases de Chern de [matemáticas] E [/ matemáticas], simplificamos esto a
[matemáticas] 1+ 6c_1 (E) + \ cdots + 9c_2 (E) (2c_1 (E) ^ 2 + c_2 (E)) [/ matemáticas].
Concluimos
[matemáticas] c_1 (F) = 6c_1 (E) [/ matemáticas]
…
[matemáticas] c_4 (F) = 9c_2 (E) (2c_1 (E) ^ 2 + c_2 (E)) [/ matemáticas]
se mantiene cuando [math] E [/ math] es una suma directa de paquetes de líneas. Por el principio de división, estas fórmulas se mantienen incluso cuando [math] E [/ math] no es una suma directa de paquetes de líneas.
Ejercicio. Complete el cálculo anterior calculando [matemáticas] c_2 (F), c_3 (F) [/ matemáticas].
Las clases de Chern del paquete tautológico en el Grassmannian. El Grassmannian [math] G [/ math] lleva un paquete de vectores de rango natural [math] 2 [/ math] [math] S [/ math]. La fibra de [math] S [/ math] sobre una línea [math] \ ell \ en G [/ math] es el subespacio vectorial bidimensional de [math] \ mathbb {C} ^ 4 [/ math] cuya proyectización es [matemáticas] \ ell [/ matemáticas]. Dualmente, el paquete vectorial [math] S ^ * [/ math] es el paquete en [math] G [/ math] cuya fibra sobre una línea [math] \ ell [/ math] es el espacio de formas lineales homogéneas en [ matemáticas] \ ell [/ matemáticas].
Queremos calcular las clases de Chern de [math] S ^ * [/ math]. Pasaremos directamente de la definición en términos de loci de degeneración, por lo que necesitamos hacer algunas secciones globales de [matemáticas] S ^ * [/ matemáticas]. Así es como puede hacer esto: suponga que tengo una forma lineal homogénea [math] F [/ math] en [math] \ mathbb {P} ^ 3 [/ math]. Para cada línea [math] \ ell \ en G [/ math], puedo restringir [math] F [/ math] a [math] \ ell [/ math] para obtener una forma lineal [math] F | _ \ ell [/ math] en [math] \ ell [/ math]. Por lo tanto, cada forma lineal [matemática] F [/ matemática] en [matemática] \ mathbb {P} ^ 3 [/ matemática] induce una sección
[matemáticas] s_F (\ ell) = F | _ \ ell [/ matemáticas]
de [matemáticas] S ^ * [/ matemáticas]. Para calcular las clases de Chern de [matemáticas] S ^ * [/ matemáticas], necesitaremos dos secciones, por lo que consideramos dos de estas secciones
[matemáticas] s_F, s_ {F ‘} [/ matemáticas]
correspondiente a dos formas lineales diferentes.
Como [math] S ^ * [/ math] tiene rango 2, la clase Chern [math] c_2 (S ^ *) [/ math] es el locus cero de una sola sección. ¿Cuál es el lugar cero de [math] s_F [/ math]? Es el lugar geométrico de las líneas contenidas en el núcleo de [math] F [/ math]. El núcleo de [math] F [/ math] es solo un hiperplano. Así
[matemáticas] c_2 (S ^ *) = \ sigma_ {11} [/ matemáticas].
Para calcular [math] c_1 (S ^ *) [/ math], debemos mirar el lugar geométrico de las líneas [math] \ ell [/ math] de modo que las formas lineales [math] F | _ \ ell [/ math] y [math] F ‘| _ \ ell [/ math] se convierten en múltiplos uno del otro. Dos de estas formas son múltiplos entre sí si y solo si desaparecen en el mismo punto de [math] \ ell [/ math]. Por lo tanto, estamos viendo el lugar geométrico de las líneas que se encuentran con la línea donde tanto [matemáticas] F [/ matemáticas] como [matemáticas] F ‘[/ matemáticas] son cero. Concluimos
[matemáticas] c_1 (S ^ *) = \ sigma_ {10} [/ matemáticas].
En resumen, la clase total de Chern es
[matemáticas] c (S ^ *) = 1 + \ sigma_ {10} + \ sigma_ {11}. [/ matemáticas]
Conclusión. AKA, la razón de todas estas tonterías. Considere el paquete vectorial [math] E = \ mathrm {Sym} ^ 3 \, S ^ * [/ math] en Grassmannian [math] G [/ math]. Intuitivamente, la fibra de este paquete sobre una línea es el espacio de polinomios cúbicos homogéneos en la línea. Luego podemos construir una sección global de [math] E [/ math] tomando un cúbico homogéneo [math] F [/ math] en [math] \ mathbb {P} ^ 3 [/ math] y restringiéndolo a un determinado línea:
[matemáticas] s_F (\ ell): = F | _ \ ell [/ matemáticas].
Ahora suponga que [matemática] F = 0 [/ matemática] es la ecuación de una superficie cúbica [matemática] X [/ matemática].
¡El lugar cero de [math] s_F [/ math] es el conjunto de líneas en [math] X [/ math] !!!
Por otro lado, suponiendo que [math] s_F [/ math] tenga ceros transversales , el locus cero de [math] s_F [/ math] tiene clase
[matemáticas] c_4 (E) \ en H ^ 8 (G, \ mathbb {Z}) [/ matemáticas].
Por lo tanto, podemos calcular el número de líneas en [matemáticas] X [/ matemáticas] calculando [matemáticas] c_4 (E) [/ matemáticas]. Y podemos hacer esto usando nuestros cálculos anteriores, como sigue.
Por el principio de división,
[matemática] c_4 (E) = 9c_2 (S ^ *) (2c_1 (S ^ *) ^ 2 + c_2 (S ^ *)) [/ matemática].
Luego, usando el cálculo de las clases de Chern de [math] S ^ * [/ math], esto es
[matemáticas] 9 \ sigma_ {11} (2 \ sigma_ {10} ^ 2 + \ sigma_ {11}). [/ matemáticas]
Finalmente, nuestra tabla de multiplicar para el Grassmannian muestra que esto es
[matemáticas] 9 \ sigma_ {11} (2 \ sigma_ {20} +3 \ sigma_ {11}) = 27 \ sigma_ {22}. [/ matemáticas]
¡Por lo tanto, debe haber exactamente 27 líneas en la superficie cúbica!
La mentira. En el cálculo anterior, la suposición de que [math] s_F [/ math] tiene ceros transversales es crítica. Sin esta suposición, podemos concluir que si [math] X [/ math] contiene solo finitamente muchas líneas, entonces contiene como máximo 27 líneas; algunos de ellos pueden contar con cierta “multiplicidad”. También es posible que una superficie cúbica tenga una familia de líneas de dimensión positiva, en cuyo caso la respuesta es totalmente incorrecta. Sin embargo, estas no son verdaderas dificultades para una superficie lisa:
Teorema. Si [math] X [/ math] es suave, entonces [math] s_F [/ math] tiene ceros transversales. Por lo tanto, [math] X [/ math] contiene exactamente 27 líneas.
La prueba aquí no es particularmente difícil, pero tampoco particularmente esclarecedora. Esta respuesta también se inició hace 4 horas, por lo que ahora parece ser un buen lugar para detenerse.
