Había dos conjuntos de axiomas. Un conjunto tenía que ver con magnitudes de cualquier tipo, ya sean áreas, ángulos, longitudes, volúmenes o lo que sea. El otro tenía que ver específicamente con la geometría. Los primeros fueron llamados nociones comunes, los segundos postulados.
Las nociones comunes eran cinco en número.
- Las cosas que igualan lo mismo también se igualan entre sí.
- Si se agregan iguales a iguales, entonces los enteros son iguales.
- Si iguales se restan de iguales, entonces los restos son iguales.
- Las cosas que coinciden entre sí son iguales entre sí.
- El todo es mayor que la parte.
También hubo cinco postulados.
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- Si [math] v = a_1i + b_1j + c_1k [/ math] es un vector en el plano dado por [math] a_2x + b_2y + c_2z + d_2 = 0 [/ math], entonces [math] a_1a_2 + b_1b_2 + c_1c_2 = 0 [/ matemáticas]. ¿Es esta ecuación verdadera o falsa? ¿Por qué?
- ¿Cómo factorizarías (1 + 2x - 6x ^ 3 - 9x ^ 4)?
- Dibujar una línea recta desde cualquier punto a cualquier punto.
- Para producir una línea recta finita continuamente en una línea recta.
- Describir un círculo con cualquier centro y radio.
- Que todos los ángulos rectos sean iguales entre sí.
- Eso, si una línea recta que cae sobre dos líneas rectas hace que los ángulos interiores en el mismo lado sean menos de dos ángulos rectos, las dos líneas rectas, si se producen indefinidamente, se encuentran en ese lado en el que están los ángulos menos que los dos ángulos rectos.
Excepto el 4to, cada uno era existencial, es decir, dada una determinada situación, entonces algo existía. El cuarto fue universal.
El quinto, también llamado el Postulado Paralelo , fue el más interesante. Es equivalente a lo que ahora se llama el postulado de Playfair , que dice que dada una línea y un punto que no está en ella, existe una línea única que pasa por el punto paralelo a la línea dada.
Durante dos mil años, muchas personas trataron de probar el postulado paralelo del resto de los axiomas. Finalmente, a principios del siglo XIX, Bolyai y Lobachevsky mostraron usando análisis que había una geometría consistente con la negación del postulado paralelo. Crearon una geometría no euclidiana llamada geometría hiperbólica. Gauss afirmó que él también lo hizo. Más tarde, Beltrami construyó un modelo de geometría hiperbólica en geometría euclidiana.
El postulado paralelo sigue siendo un axioma de la geometría euclidiana, y es lo que lo distingue de la geometría no euclidiana.
