Hay muchas sumas que convergen a [math] \ zeta (3) [/ math], por lo que el artículo “the” en la pregunta está fuera de lugar.
Por definición, [math] \ zeta [/ math] de cualquier número [math] s [/ math] (real o complejo, pero siempre que su parte real sea mayor que [math] 1 [/ math]) es
[matemáticas] \ displaystyle \ zeta (s) = \ sum_ {n = 1} ^ \ infty \ frac {1} {n ^ s} [/ matemáticas]
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Entonces, específicamente,
[matemáticas] \ displaystyle \ zeta (3) = \ sum_ {n = 1} ^ \ infty \ frac {1} {n ^ 3} [/ matemáticas]
Esta es solo la suma de los recíprocos de los cubos de los enteros positivos.
Pero hay otras fórmulas. En su prueba de 1978 de que [matemáticas] \ zeta (3) [/ matemáticas] es irracional, Roger Apéry utilizó esta hermosa variación con signos alternos y denominadores de rápido crecimiento:
[matemáticas] \ displaystyle \ zeta (3) = \ frac {5} {2} \ sum_ {n = 1} ^ \ infty \ frac {(- 1) ^ {n-1}} {n ^ 3 \ binom { 2n} {n}} [/ matemáticas]
Otra fórmula (creo que se debe originalmente a Ramanujan) es una representación de fracción continua generalizada utilizada por Nesterenko:
[matemáticas] \ displaystyle \ zeta (3) = \ frac {6} {5- \ frac {1} {117- \ frac {64} {535- \ ldots \ frac {n ^ 6} {34n ^ 3 + 51n ^ 2 + 27n + 5- \ ldots}}}} [/ math]
Y hay muchas, muchas otras versiones y variaciones.
