Bien, primero usemos cálculo para determinar el comportamiento de la función [matemáticas] f (x) = x + ln (x ^ 2 – 1) [/ matemáticas].
Primero, el dominio donde existe esta función debe ser tal que [matemática] x ^ 2 – 1> 0 [/ matemática], lo que nos da [matemática] x> 1 [/ matemática] o [matemática] x <-1 [ /matemáticas].
Ahora, tomando la primera derivada, tenemos [matemática] f ‘(x) = 1 + \ frac {2x} {x ^ 2 – 1} [/ matemática]. En el dominio con el que estamos trabajando, [math] x ^ 2 – 1 [/ math] siempre es positivo, por lo que depende de la parte 2x determinar si [math] f ‘(x) [/ math] es positivo o negativo
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Establezcamos la derivada en [matemáticas] 0 [/ matemáticas] para determinar la existencia de cualquier punto crítico:
[matemática] 1 + \ frac {2x} {x ^ 2 – 1} = 0 [/ matemática] produce [matemática] 1 – x ^ 2 = 2x [/ matemática], por lo tanto [matemática] x ^ 2 + 2x + 1 = 2 [/ matemáticas], y luego [matemáticas] (x + 1) ^ 2 = 2 [/ matemáticas]. Esto nos da dos soluciones, [math] \ sqrt {2} – 1 [/ math] y [math] – (\ sqrt {2} + 1) [/ math]. Sin embargo, dado que no podemos tener ningún valor de [math] x [/ math] tal que [math] – 1 \ leq x \ leq 1 [/ math], el valor [math] \ sqrt {2} – 1 [/ math ] debe ser descartado.
En cuanto al otro valor, veamos qué sucede en la segunda derivada de x:
[matemáticas] f ” (x) = (1) ‘+ (\ frac {2x} {x ^ 2 – 1})’ = \ frac {2 * (x ^ 2 – 1) – 2x * (2x)} {(x ^ 2 – 1) ^ 2} = – \ frac {2 (x ^ 2 + 1)} {(x ^ 2 – 1) ^ 2} [/ math].
[matemática] f ” (- (\ sqrt {2} + 1)) = \ sqrt {2} – 2 [/ matemática], y este valor es negativo, lo que significa que este es un máximo local para [matemática] f ( x) [/ matemáticas]. Ahora, [math] f (- (\ sqrt {2} + 1)) = log (2 + 2 \ sqrt {2}) – (1 + \ sqrt {2}) [/ math], que es aproximadamente [math ] -0.8397 [/ math] y, por lo tanto, no tenemos soluciones para [math] x <- 1 [/ math].
En cuanto a [matemáticas] x> 1, f ‘(x) [/ matemáticas] siempre es positivo, por lo que para [matemáticas] x> 1 [/ matemáticas] nuestra función está aumentando monotónicamente. Además, [matemáticas] \ lim_ \ límites {x \ to1 _ {+}} x + ln (x ^ 2 – 1) = – \ infty [/ matemáticas], mientras que [matemáticas] f (2) = 2 + ln (3 )> 0 [/ math], y por lo tanto debemos tener una raíz entre [math] 1 [/ math] y [math] 2 [/ math], y es una solución única.
Ahora, no hay ninguna forma analítica en la que pueda pensar para resolver esto, por lo que podemos recurrir al cálculo y usar el método de Newton o iterar sobre un punto fijo. En cualquier caso, la solución será un número aproximadamente igual a [matemáticas] 1.14776 [/ matemáticas].
