Pensemos un momento sobre la ecuación de un avión.
Deje que [math] \ vec X_1 = (x_1, y_1, z_1) [/ math] y [math] \ vec X_2 = (x_2, y_2, z_2) [/ math] sean los vectores desde el origen hasta dos puntos arbitrarios en el avión.
La ecuación de un plano dice que [math] ax + by + cz + d = 0 [/ math] para cualquier punto del plano. También podemos escribir esto como [math] (a, b, c) \ cdot (x, y, z) = -d [/ math] con [math] \ cdot [/ math] como producto puntual. Vamos a nombrar el vector [math] \ vec N = (a, b, c) [/ math] por conveniencia. Entonces podemos escribir la ecuación del plano como [math] \ vec N \ cdot (x, y, z) = -d [/ math] con [math] (x, y, z) [/ math] el vector de El origen a cualquier punto del plano.
Como [math] \ vec X_ {1,2} [/ math] son vectores a puntos en el plano, debe ser cierto que [math] \ vec N \ cdot \ vec X_1 = -d [/ math] y [math ] \ vec N \ cdot \ vec X_2 = -d [/ math]. Podemos restar estas ecuaciones para encontrar que [matemática] \ vec N \ cdot (\ vec X_2 – \ vec X_1) = 0 [/ matemática].
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Ahora pensamos por un minuto. [math] \ vec X_2 – \ vec X_1 [/ math] es solo el vector desde un punto elegido arbitrariamente en el plano hasta otro punto elegido arbitrariamente en el plano. Entonces, esta diferencia representa CUALQUIER vector arbitrario en el plano. Y la ecuación nos dice que cuando tomamos el producto punto de [math] \ vec N [/ math] con CUALQUIER punto elegido arbitrariamente en el plano, obtenemos cero. Y un producto punto de cero entre dos vectores nos dice que son ortogonales. Entonces [math] \ vec N [/ math] es ortogonal a CUALQUIER vector en el plano. Eso significa que es ortogonal a todo el plano.
Entonces, lo que hemos aprendido es que la ecuación que define CUALQUIER plano se puede escribir como [math] \ vec N \ cdot (x, y, z) = -d [/ math] con [math] \ vec N [/ math ] siendo un vector que es ortogonal al plano.
Ahora, consideremos su pregunta original. De la ecuación de su plano, vemos que [math] \ vec N = (a_2, b_2, c_2) [/ math] debe ser normal al plano. También nos dice que [math] \ vec v [/ math] es un vector EN el plano. Entonces [math] \ vec N [/ math] y [math] \ vec v [/ math] deben ser ortogonales. Eso significa que su producto punto debe ser cero. Pero su producto de punto está dado por [math] a_1a_2 + b_1b_2 + c_1c_2 [/ math]. Entonces podemos concluir que esta cantidad DEBE ser cero.
* Nota: Supongo que cuando dices que v es un vector en el plano, realmente quieres decir EN el plano. (es decir, que es el vector que conecta dos puntos en el plano). Si, en cambio, quiere decir que v es un vector desde el origen hasta un punto en el plano, entonces la cantidad que está preguntando es en realidad igual a [math] -d_2 [/ math] que (en general) no va a ser cero . Si [math] d_2 [/ math] resulta ser cero, entonces el avión pasa por el origen. En este caso, el vector desde el origen hasta cualquier otro punto en el plano ES solo un vector que conecta dos puntos en el plano, por lo que, por supuesto, la cantidad de interés debe ser cero.
