¿Es posible tener una probabilidad compleja o imaginaria? Si es así, ¿qué implicaría eso?

Desafortunadamente, este está fuera de lo que tengo un conocimiento profundo, pero aquí va.

A veces, en matemáticas, debe introducir los números complejos para construir una teoría más grande y manejable, incluso si su respuesta final, como una probabilidad, es una. Pero para avanzar, necesito hablar sobre la densidad de probabilidad, que no supondré que se entienda por el momento.

Imagina que estás lanzando un dardo a una hoja de papel y que eres bastante bueno en eso. El dardo podría aterrizar en cualquier lugar, pero los puntos en el medio son más probables. A cada punto se le asigna una densidad de probabilidad , que es como decir “2% de probabilidad por pulgada cuadrada” para algunas regiones, pero dando 1% o 4% para otras, y puede subdividir infinitamente con cálculo, es decir, “2% por cuadrado pulgada “para un cuadrado de .5 x .5 sería un cuarto más grande, y cada uno tendría una probabilidad del 2% / 4 = .5%. Pero si modifica un poco la densidad, a medida que se mueve media pulgada, los cuatro cuadrados podrían tener densidades más grandes o más pequeñas como 2.2% o 1.8%, por lo que sus probabilidades serían más como .55% o .45%. Área * densidad = probabilidad para cuadrados extremadamente pequeños, y luego sumas todo para obtener probabilidad uno para toda la hoja de papel, o algo más pequeño si solo sumas densidades en un subconjunto.

Hacia dónde se dirige esto son las funciones de onda, que es una raíz cuadrada compleja de una función de densidad de probabilidad. Se llaman [math] \ Psi [/ math] (“sai” o “psai”, como si estuvieras escupiendo enojado cuando lo dices) y a menudo son soluciones complejas de ecuaciones diferenciales que describen cómo cierta cantidad abstracta cambia con el tiempo cuando actúan varias fuerzas. Bueno, las cosas pueden volverse un poco extrañas: un solo electrón no quiere ser identificado con certeza, pero algunas ubicaciones son más probables que otras.

¿Recuerdas conjugados complejos? [matemáticas] (a + bi) (a-bi) = a ^ 2 + b ^ 2 [/ matemáticas]. Los números entre paréntesis se llaman conjugados, [math] z [/ math] y [math] \ bar {z} [/ math]. La barra sobre un número complejo se usa para denotar conjugados.

La función de onda, como dije, es una raíz cuadrada de una densidad de probabilidad, pero quiero decir que en el sentido de que necesitas multiplicar por el conjugado para obtener la densidad de probabilidad, ya que el cuadrado literal [matemático] \ Psi \ cdot \ Psi [/ math] aún puede dejar de ser un número real positivo. Entonces esto se escribe como [math] | \ Psi | ^ 2 = \ Psi \ cdot \ bar {\ Psi} [/ math].

Eso es todo lo que puedo decir aquí. La motivación para las ecuaciones diferenciales que resultan en raíces cuadradas complejas de funciones de habilidad es un animal completamente diferente del que no sé nada. Es un poco misterioso, pero el camino para resolver algunos problemas parece tener que seguir una ruta que involucra raíces cuadradas de funciones de densidad de probabilidad. La razón de esto es algo que tampoco entiendo bien todavía, pero no estudié mucho de física.

Las probabilidades se definieron como valoradas positivamente por la misma razón por la cual las longitudes, áreas y volúmenes son valorados positivamente. Podemos generalizarlo para que sea complejo, vectorial o incluso matricial (operador) valorado.

Las longitudes, áreas y volúmenes se denominan en general Medida (matemáticas). Para ver la relación entre la probabilidad y una medida, podemos pensar en los eventos como puntos en un segmento de línea (o un plano o cualquier otro espacio). El conjunto de eventos favorables que estamos buscando será un subconjunto de la línea y su probabilidad será la longitud del subconjunto. Esta idea se generaliza a cualquier conjunto de eventos.

La medida se definió primero como no negativa. Sin embargo, hay una generalización de la medida firmada, que incluye medidas positivas y negativas.

Una generalización adicional, medida compleja, incluye valores complejos para una medida. De hecho, esto representa probabilidades complejas.

Además, una medida puede ser un vector o una matriz. En física, una medida llamada POVM se utiliza para representar mediciones realizadas en un sistema mecánico cuántico. POVM es una medida que proporciona una matriz como la medida de un conjunto (operadores positivos para ser precisos).

Una pregunta fascinante, y aquí están mis pensamientos aleatorios y simplistas: en la teoría de probabilidad convencional, la función de densidad de probabilidad tiene un área de “1” a lo largo del eje real de los números (es decir, en todo el espacio del evento). Parece que una función de densidad de probabilidad compleja podría verse como una pieza (posiblemente retorcida) de un sombrero sobre el primer cuadrante del plano complejo (¿un espacio de evento complejo?), Cuya proyección a lo largo del eje real es la función de densidad de probabilidad de probabilidad convencional teoría, y cuya proyección a lo largo del eje complejo es una nueva función de densidad de probabilidad recíproca (¿de un espacio de evento recíproco, TBD? ¿Un espacio de evento en cuadratura, fuera de fase?).

La distribución de probabilidad compleja tendría dirección sobre el espacio del evento (dominio de números complejos) así como también magnitud, abriendo todo tipo de posibilidades para la interpretación física una vez que las matemáticas estuvieran mejor definidas. Descartes se enojó cuando etiquetó burlonamente estas ideas y números como “imaginarios”, pero han demostrado su utilidad muchas veces en aplicaciones físicas desde su época.

Muy bien, míralo de esta manera …
La probabilidad es una medida de frecuencia; cuántas veces ocurre un evento cuando se realiza un experimento.
Ahora, cuando mides la frecuencia, siempre comienzas desde 0,1,2 …
No puedes tener iota en las frecuencias.

En los sistemas de comunicación, si es consciente, existen conceptos de señales reales y complejas.
En realidad no hay nada como una señal compleja.
Solo para facilitar nuestro trabajo, presentamos el concepto de números complejos.
Facilita el modelado matemático.

Entonces, si algún día alguien prueba la existencia de una probabilidad imaginaria, sería tratada y modificada como la probabilidad de otra variable aleatoria.

Si [matemática] X [/ matemática] y [matemática] Y [/ matemática] son ​​dos variables aleatorias independientes con funciones de densidad de probabilidad [matemática] f [/ matemática] y [matemática] g [/ matemática], respectivamente, entonces la probabilidad La densidad de la diferencia [matemática] YX [/ matemática] está formalmente dada por la correlación cruzada (en el sentido del procesamiento de la señal) [matemática] f \ estrella g [/ matemática] (expandida en términos del complejo conjugado de [ matemáticas] f [/ matemáticas]); sin embargo, esta terminología no se usa en probabilidad y estadística. En contraste, la convolución [math] f \ ast g [/ math] (equivalente a la correlación cruzada de [math] f (t) [/ math] y [math] g (-t) [/ math] da el función de densidad de probabilidad de la suma [matemática] X + Y [/ matemática].

Una búsqueda rápida en Google revela que la probabilidad exótica es un tema sobre valores de probabilidad negativos y complejos. Sin embargo, la mayoría de los investigadores en probabilidad matemática nunca tratan las probabilidades fuera del intervalo [0,1]. De hecho, (en matemáticas) una medida de probabilidad toma valores en [0,1] por definición.

Si ! En el siguiente artículo (publicado recientemente en Phys. Rev. E) usando probabilidades de valores complejos, se propone un nuevo modelo cinético:

Zadehgol, A., 2016. Generalizando la ecuación de Boltzmann en el espacio de fases complejas. Phys. Rev. E, 94 (2). Disponible en: http://dx.doi.org/10.1103/physreve.94.023316 .

En este modelo, la velocidad, la posición y el tiempo (variables de espacio de fase) están representados por cantidades de valores complejos:

Generalizando la ecuación de Boltzmann en un espacio de fase complejo

Este libro tiene cobertura detallada de probabilidades complejas, incluido su uso en mecánica cuántica:
Una teoría moderna de variación aleatoria: con aplicaciones en cálculo estocástico, matemática financiera e integración de Feynman

Ver amplitud de probabilidad