¿Por qué necesitamos interpolación numérica?

La interpolación numérica es generalmente un enfoque eficiente para estimar el valor de alguna función, basada en datos sobre la función que tiene poco o ningún ruido. Esta es una herramienta común utilizada a través del análisis numérico y otras áreas de matemática computacional donde podemos asumir que los datos que estamos usando para formar modelos tienen valores atípicos o ruido mínimos (aunque tenga en cuenta que hay algunos métodos especializados que intentan ser robustos a los valores atípicos).

Las aplicaciones de interpolación se ven en toda la industria y la investigación. Solo en la industria, es común generar un conjunto de datos y querer construir algún tipo de modelo a partir de él. A veces, los datos son ruidosos y requieren algo como Mínimos cuadrados, pero otras veces son lo suficientemente suaves como para permitir la construcción eficiente de modelos mediante interpolación.

Solo como ejemplo en mi trabajo, utilicé la interpolación basada en Interpolantes de Lagrange de bajo orden para estimar un modelo aproximadamente cuadrático basado en un conjunto de evaluaciones de simulación de caja negra. Luego usaría el modelo interpolado para hacer la optimización, tratando el modelo interpolado como un modelo sustituto del verdadero modelo subyacente de la simulación. En mi caso, la tendencia de la simulación de caja de bloque es bastante simple y tiene poco ruido, por lo que este tipo de enfoque funciona bien.

Hicimos un cálculo relativamente costoso en unos pocos miles de puntos. Luego interpolamos en el conjunto de datos a las condiciones que necesitábamos: interpolamos decenas de miles de veces. La interpolación ahorró ciclos de CPU: quizás redujo el tiempo para hacer el análisis en un factor de 100.

Los puntos se generaron al resolver una ecuación diferencial 3D con aproximadamente 20,000 puntos de malla. La interpolación, por supuesto, fue una cuestión de unos pocos ciclos de CPU.