Me pidieron que respondiera. No estoy directamente en topología, pero he bailado a lo largo de mi carrera trabajando en teoría de la representación y geometría algebraica, por lo que arriesgaré una respuesta con la advertencia de que todo lo que digo probablemente sea incorrecto.
Creo que las dos áreas se superponen fuertemente. La premisa básica de la topología algebraica es unir objetos algebraicos a espacios topológicos, derivando información topológica interesante del álgebra y quizás incluso información algebraica interesante de la topología.
Para un ejemplo del álgebra que le cuenta acerca de la topología, uno puede unir el grupo fundamental a un espacio topológico que es aproximadamente ‘todos los bucles’ hasta la burbuja de jabón entre ellos (con una dirección). Este grupo puede decirle qué espacios tienen mapas continuos entre ellos para espacios agradables.
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Para un ejemplo en sentido contrario, observe el teorema de Borel-Bott-Weil que construye las representaciones de un grupo algebraico reductivo en la cohomología de un espacio topológico relacionado.
La topología computacional se trata más de calcular explícitamente estos invariantes algebraicos. Por ejemplo, en el pasado, la gente trabajaba duro para calcular mapas continuos entre esferas de diferentes dimensiones. Muchas ideas de topología algebraica pueden relacionarse con la idea de una ‘triangulación’ o, más generalmente, ‘estructura compleja simplicial’ en un espacio topológico, por ejemplo, homología de varios tipos. Uno puede calcular explícitamente muchos de los invariantes interesantes de un complejo simplicial. Proporcionar algoritmos para hacerlo caería en el dominio de la topología computacional a pesar de que hay estructuras algebraicas en juego.
Más recientemente, el campo del análisis de datos topológicos a menudo busca formas de adjuntar un complejo simplicial explícitamente computable a los datos. Busca en Google la frase ‘homología persistente’ o mira a la empresa Ayasdi si quieres ver a alguien haciendo esto en Silicon Valley.
