0,0,0, A funciona para A cualquier cuadrado perfecto. Más generalmente, 0,0 junto con cualquiera de los pequeños pares de cuadrados en un triple pitagórico, por ejemplo (0,0,9,16). Más generalmente aún, para cualquier par de enteros myn,
(2m ^ 2 n ^ 2, 2m ^ 2 n ^ 2, 2m ^ 2 n ^ 2, (m ^ 2 – n ^ 2) ^ 2 – 2 m ^ 2 n ^ 2)
Es una solución. Por ejemplo, con m = 2, n = 1,
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(8,8,8,1)
Más soluciones son
2m ^ 2 n ^ 2, 2m ^ 2 n ^ 2, – 2m ^ 2 n ^ 2, (m ^ 2 – n ^ 2) ^ 2 – 2 m ^ 2 n ^ 2
por ejemplo,
8,8, -8,17
Ahora solo dos de los números son iguales. Así que supongo que quiere decir que los cuatro números son positivos y diferentes.
El teorema básico que hay que saber para resolver esto en general es que todos los triples pitagóricos tienen la forma 2mn, m ^ 2-n ^ 2, (m ^ 2 + n ^ 2) ^ 2, que se demuestra simplemente a partir de la ecuación definitoria y algunas consideraciones únicas de factorización / algoritmo de Euclides (este es un resultado clásico).
Dado esto, la suma de todos los números es un triple pitagórico por cada uno de los tres emparejamientos posibles de los cuatro números. Si hay una descomposición única para la pata larga del triángulo en patas enteras cortas, la respuesta es uno de los casos triviales anteriores.
Pero no todos los cuadrados son descomponibles de forma única en cuadrados más pequeños. El método para encontrar el número de composiciones es a través de los enteros gaussianos: ab tiene la misma longitud en los enteros gaussianos que ab *, y a partir de la factorización única en los enteros gaussianos, este es el método general para generar números con la misma longitud. Por ejemplo, usando a = 2 + 3i y b = 3 + i, obtienes la identidad cuadrada:
33 ^ 2 + 56 ^ 2 = 16 ^ 2 + 63 ^ 2
Esto genera la siguiente familia:
x, 33 ^ 2 – x, 16 ^ 2 – x, 56 ^ 2 – 16 ^ 2 + x
que, mediante la parametrización, convierte automáticamente la suma de los 4 en un cuadrado y la descomposición de 1 + 2, 1 + 3, 2 + 3 cuadrados.
La condición no trivial funcionará en el momento 56 ^ 2 – 16 ^ 2 + 2x es una de las opciones 56 ^ 2, 33 ^ 2, 16 ^ 2 o 63 ^ 2. No estoy seguro de si alguno de estos brinda soluciones positivas no triviales, no me molesté en verificarlo, porque al encontrar conjuntos cada vez más grandes de enteros gaussianos que comparten la misma longitud, puede generar tantas soluciones no triviales como desee.
Por ejemplo, suponga que encuentra tres enteros gaussianos con la misma longitud:
m ^ 2 + n ^ 2 = p ^ 2 + q ^ 2 = s ^ 2 + t ^ 2
luego
(x, (2mn) ^ 2 -x, (2pq) ^ 2 -x, (m ^ 2 – n ^ 2) – (2pq) ^ 2 + x)
funcionará, siempre que elija x para que
(m ^ 2 – n ^ 2) ^ 2 – (2pq) ^ 2 + 2x = (s ^ 2 – t ^ 2) ^ 2
o (2º) ^ 2 en el lado derecho. Este método genera todas las soluciones con las restricciones proporcionadas.