El espacio matemático es un término comúnmente utilizado, pero poco definido. La definición más generalizada y abarcativa es probablemente la de Wikipedia, que usted enumeró: un conjunto con alguna estructura adicional. [1]
Siguiendo esa definición, un campo es definitivamente un espacio. Pero, al mismo tiempo, debe tener en cuenta que las clases de objetos matemáticos que satisfacen ese criterio son infinitas. Es increíblemente vago.
Entonces, Jake Chateau hace un buen punto cuando enfatiza que la comunidad matemática no se refiere a los campos como espacios. Poseer una topología no es un requisito para los campos, lo que significa que no se garantiza que los campos tengan propiedades agradables como conectividad, compacidad, etc., que permitan agrupar elementos y tener una noción de distancia.
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Independientemente de las muchas definiciones existentes, las personas a menudo reservan el término espacio exclusivamente para espacios topológicos Espacio topológico – Wikipedia, a menos que se refieran a un espacio vectorial. (No todos los espacios vectoriales son espacios topológicos, y no todos los espacios topológicos son espacios vectoriales, por lo que no hay jerarquía aquí).
En pocas palabras: considerar un campo como un tipo de espacio probablemente solo pueda lastimarte a largo plazo. Si escucha algo denominado espacio, que no sea un espacio vectorial, es una apuesta segura asumir que es un espacio topológico.
[1] Espacio (matemáticas) – Wikipedia
