No, eso no es posible. Aquí hay un boceto de la prueba:
Suponga que [matemática] P (x) = \ sum_ {k = 0} ^ {n} a_k x ^ k [/ matemática], donde cada [matemática] a_k [/ matemática] es un número algebraico. Sea [math] t [/ math] cualquier número tal que [math] P (t) = 0 [/ math]. Para simplificar, suponga que [matemáticas] a_n = -1 [/ matemáticas], de modo que [matemáticas] t ^ n = \ sum_ {k = 0} ^ {n-1} a_k t ^ k \ text {} (*) [/matemáticas].
Como cada [matemática] a_k [/ matemática] es algebraica, podemos escribir una ecuación similar para cada [matemática] a_k [/ matemática]:
- En Francia, log (x) es típicamente de base 10. Cuando es de base e, escribimos ln (x) para el logaritmo natural. ¿Por qué otros sistemas no hacen eso?
- ¿Cuál es el símbolo [math] \ sum [/ math]?
- ¿Cómo puedo encontrar las partes reales e imaginarias de ln (sqrt (i))?
- ¿Por qué las integrales de las funciones delta exponenciales complejas?
- ¿Cómo se relacionan los exponentes y las razones? ¿Puedes decir que en una escala logarítmica la distancia entre dos puntos es un exponente o una razón?
[matemáticas] \ left (a_k \ right) ^ {b_k} = \ displaystyle \ sum_ {j = 0} ^ {b_k-1} c_ {j, k} \ left (a_k \ right) ^ j \ text {} ( **)[/matemáticas]
(donde cada [math] b_k [/ math] es un número natural, y cada [math] c_ {j, k} [/ math] es un número racional).
Ahora, dejemos que [math] V [/ math] sea el espacio vectorial sobre [math] \ mathbb {Q} [/ math] generado por el siguiente conjunto de vectores:
[matemáticas] \ left \ {t ^ d \ displaystyle \ prod_ {k = 0} ^ {n} \ left (a_k \ right) ^ {d_k}: 0 \ le d_k <b_k; 0 \ le d <n; d_k, d \ in \ mathbb {Z} \ right \} [/ math]
Entonces [math] V [/ math] tiene una dimensión finita, porque es generada por un número finito de vectores.
Ahora considere el conjunto [math] T = \ left \ {t ^ m: m \ in \ mathbb {N} \ right \} [/ math].
Digo que [math] T [/ math] es un subconjunto de [math] V [/ math]. Para probar esto, comience con cualquier [matemática] t ^ m \ en T [/ matemática]. Si [math] m <n [/ math], entonces hemos terminado. De lo contrario, por [math] (*) [/ math], podemos reescribir [math] t ^ m [/ math] como una expresión polinómica que involucra los números [math] a_k [/ math], de modo que los exponentes de [math ] t [/ math] son todos menos que [math] n [/ math]. Luego, por [math] (**) [/ math], podemos reescribir cada potencia de [math] a_k [/ math] como una combinación lineal de poderes de [math] a_k [/ math] cuyos respectivos exponentes son menores que [matemáticas] b_k [/ matemáticas].
Por lo tanto, dado que [math] T [/ math] es un conjunto infinito, que es un subconjunto de [math] V [/ math] que tiene una dimensión finita, entonces hay un subconjunto finito no vacío de [math] T [/ math] que es linealmente dependiente sobre [math] \ mathbb {Q} [/ math]. Por lo tanto, existe un polinomio finito en [matemática] t [/ matemática] con coeficientes racionales que es igual a cero.
Por lo tanto, [math] t [/ math] es algebraico sobre [math] \ mathbb {Q} [/ math], por lo que no es trascendental.
