Supongo que te estás refiriendo a esta conjetura de Rota.
Tenemos un fenómeno que surge naturalmente en matemáticas (y física, geometría, etc.): independencia lineal . Algunos conjuntos de cosas son linealmente independientes, otros no. Las “cosas” podrían ser vectores geométricos en el espacio euclidiano, o vectores abstractos en un espacio vectorial abstracto sobre un campo. Casos especiales de este último podrían ser números, matrices, funciones, palabras de código, lo que tiene.
Estudiamos propiedades de conjuntos linealmente independientes (LI) y descubrimos que tienen algunas propiedades. Por ejemplo:
- ¿Cuáles son las diferencias entre los métodos iterativos y los métodos heurísticos en la optimización numérica?
- Escucho mucho sobre tener que hacer pruebas en matemáticas de nivel universitario. ¿Estas pruebas provienen directamente de los libros de texto o son pruebas que no se han visto antes?
- ¿De quién recibió el nombre el álgebra?
- ¿Cuál es la conjetura de Kemnitz?
- ¿Cómo murió Pitágoras? ¿Cuáles fueron las causas?
- El conjunto vacío es LI.
- Si un conjunto [matemática] X [/ matemática] es LI y [matemática] Y [/ matemática] es un subconjunto de X, entonces [matemática] Y [/ matemática] también es LI.
- Todos los conjuntos LI que son máximos (no están contenidos en ningún conjunto LI más grande) tienen el mismo tamaño.
Ahora viene la parte divertida: nos olvidamos de las raíces originales del término “independencia lineal”, y definimos una “estructura abstracta LI” como un conjunto con algunos subconjuntos distinguidos llamados conjuntos LI y que satisfacen los axiomas anteriores. Un nombre más corto para “Estructura abstracta LI” es Matroid.
Esta es una práctica muy común en matemáticas. Aislamos ciertas características clave de una estructura común y definimos una estructura abstracta que satisface esas características clave sin ser necesariamente uno de los ejemplos familiares.
Ahora tenemos matroides. Dado que la familia de LI se establece en algún espacio vectorial sobre un campo [matemática] F [/ matemática] es siempre un matroide, es muy natural preguntar lo contrario: ¿es eso? ¿ Todos los matroides son isomórficos para la familia que LI establece sobre [matemáticas] F [/ matemáticas]?
Esto es significativo porque si fuera el caso de que cada matroide se pueda ver como el matroide de los conjuntos de LI sobre el campo de 17 elementos, la teoría de las matroides sería algo menos emocionante. Por otro lado, si entendemos cuáles son las cosas que están diferenciando esos matroides que son conjuntos LI de los que no lo son , habremos respondido una pregunta muy natural.
Esto es lo que Rota se propuso hacer: quería confirmar que para cualquier campo de tierra [matemática] F [/ matemática] hay una lista finita de matroides “malos” que no se pueden realizar como el matroide de independencia lineal sobre [matemática] F [/ matemáticas]. Este conjunto finito proporciona una caracterización muy satisfactoria de aquellos matroides que son o no lineales.
Eso es. Es una pregunta muy natural con mucho atractivo intelectual.
