Hablando intuitivamente, ¿qué representa una transformación de Laplace?

(Descargo de responsabilidad: paso por alto muchas técnicas “bueno, casi, pero no exactamente …” en lo siguiente, en aras de no empantanar la idea intuitiva)

¿Conoces el álgebra lineal? Si no, puedo presentar las cosas de manera diferente, pero por ahora, la forma en que lo diría es esta:

Considere las funciones de, digamos, números complejos a números complejos (aunque no hay nada esencial sobre el uso de números complejos aquí). Estos comprenden un espacio vectorial. Puede que no estés acostumbrado a pensar en funciones como vectores, pero lo son; puedes escalarlos, puedes agregarlos entre sí. Son solo vectores en un espacio muy infinitamente dimensional.

La diferenciación es un operador lineal en este espacio. En consecuencia, al igual que para cualquier operador lineal, si restringimos la atención al alcance de sus vectores propios, puede ser “diagonalizado”, dando una representación potencialmente útil de su acción.

Al llevar esto a cabo, primero debemos descubrir cuáles son los vectores propios de diferenciación; es decir, las funciones cuyas derivadas son múltiplos (reales) de sí mismas. Específicamente, para cada valor propio potencial [math] \ lambda [/ math], existe precisamente un espacio unidimensional de vectores propios correspondientes: los múltiplos de la función [math] x \ mapsto e ^ {\ lambda x} [/ math] .

De ello se deduce que las funciones [matemáticas] x \ mapsto e ^ {\ lambda x} [/ matemáticas] (llamadas estos “exponenciales básicos”) constituyen una base para la extensión de los vectores propios de diferenciación; en particular, son linealmente independientes.

Lo que hace la “transformación de Laplace (hacia adelante)” es tomar una asignación de pesos a cada exponencial básico y convertirlo en el vector dado por la suma ponderada correspondiente. La “transformación inversa de Laplace”, naturalmente, simplemente invierte este proceso (el hecho de que se pueda deshacer es precisamente lo que significa que los exponenciales básicos sean linealmente independientes).

En otras palabras, las transformadas de Laplace simplemente cambian de un lado a otro entre vectores en un cierto espacio de dimensiones infinitas (funciones complejas) y su representación coordinada en términos de una determinada base (los exponenciales básicos). La base se elige específicamente para “diagonalizar” un determinado operador lineal (diferenciación); es decir, en esta representación, determinar el resultado de ese operador es simplemente multiplicar las coordenadas de cada dimensión por un factor particular (específicamente, para diferenciar una función representada como una suma ponderada de exponenciales básicos, simplemente multiplique el peso de cada [matemática ] x \ mapsto e ^ {\ lambda x} [/ math] término por el correspondiente [math] \ lambda [/ math]). Esto tiene el efecto conveniente de convertir potencialmente las ecuaciones que implican el uso repetido de ese operador lineal (diferenciación) en ecuaciones algebraicas directas que describen la representación de la solución deseada. Todo esto es solo la idea genérica de diagonalizar un operador lineal, como se aplica al caso específico del operador de diferenciación.

Por cierto, lo anterior explica por qué la llamada “transformación inversa de Laplace” de la derivada de una función viene dada por la regla familiar; sin embargo, no explica por qué la “transformación de Laplace hacia adelante” satisface una regla tan similar. Para comprender esto, es mejor rotar desde transformadas de Laplace a la técnica fundamentalmente equivalente de las transformadas de Fourier, donde la simetría entre las transformaciones directas e inversas se explica más directamente; sin embargo, lo guardaré para más adelante, si tengo tiempo para volver y expandir esta publicación.

Una forma conveniente de convertir un cálculo en álgebra, las funciones sin / cos / exp en polinomios racionales y, en conjunto, acelerar la resolución de problemas que surgen en ecuaciones diferenciales.

¿Por qué? Porque convierte la diferenciación en multiplicación por s, integración en división por s, y las funciones sin / cos / exp en polinomios racionales simples en s .
Tabla: transformada de Laplace

En otros términos, la transformada de Laplace cambia una función basada en el tiempo en un tipo modificado de frecuencia basada, aunque la transformada de Fourier es mejor para eso (la transformada de Fourier es solo una proyección única de una transformada de Laplace).

Resulta que en la mayoría de los casos en los que se usa la transformación de Laplace, toda la información que necesita se puede encontrar en un diagrama de Polo-cero, en lugar de solo graficar la función completa, simplemente marca en todas partes la función va al infinito (los polos ) y en todas partes la función va a cero (los ceros). (las x son polos, las o son ceros).
Las posiciones arriba / abajo de los polos le dicen a qué frecuencia resonará el sistema, y ​​la posición izquierda / derecha le dice qué tan grande será la resonancia. Los ceros representan desintegraciones exponenciales no resonantes.