- Para empezar, determinamos sus simetrías. La ecuación permanece igual si intercambia [matemáticas] x [/ matemáticas] y [matemáticas] y [/ matemáticas]. Intercambiar [matemáticas] x [/ matemáticas] y [matemáticas] y [/ matemáticas] es equivalente a intercambiar los ejes [matemáticas] x [/ matemáticas] y [matemáticas] y [/ matemáticas]. Entonces, la curva es simétrica respecto a la línea [math] \ mathbf {y = x} [/ math]. No es simétrico con respecto a ninguna otra línea, ni es simétrico con respecto al origen.
- Ahora, ¿cuáles son sus intercepciones [matemáticas] x [/ matemáticas] e [matemáticas] y [/ matemáticas]? Deje [math] y = 0 [/ math] en la ecuación, y obtenemos [math] x ^ 3 = 0 \ Rightarrow x = 0 [/ math]. Este es el origen. Por simetría, la única intercepción [matemática] y [/ matemática] es el origen también. Entonces, la curva pasa a través del origen .
- Pero [math] y = x [/ math] es el eje de simetría, eso también es interesante cuando se buscan intersecciones. Entonces, [math] y = x [/ math] en la ecuación de la curva, y obtenemos [math] 2x ^ 3 – 3ax ^ 2 = 0 \ Rightarrow [/ math] [math] x = 0 [/ math] , [matemáticas] x = 3a / 2 [/ matemáticas]. La primera solución corresponde al origen. El segundo nos dice que la curva pasa por [math] \ mathbf {(3a / 2, 3a / 2)} [/ math].
- Luego, encontramos su (s) tangente (s) en los puntos de intercepción. Hay un método para encontrar las tangentes en el origen, sin diferenciación. Este método funciona incluso cuando el punto es un punto singular, y también nos dice qué tipo de punto singular es. Elimine todos los términos de grado menos el más bajo de la ecuación de la curva, para obtener [matemáticas] 3axy = 0 [/ matemáticas]. Esta es la ecuación de las tangentes en el origen. Podemos ver que da un par de líneas rectas [matemáticas] y = 0 [/ matemáticas] y [matemáticas] x = 0 [/ matemáticas]. Por lo tanto, los ejes [math] \ mathbf {x} [/ math] y [math] \ mathbf {y} [/ math] son las tangentes en el origen . El origen es una cruzada . ¿Qué pasa con la (s) tangente (s) en [matemáticas] (3a / 2, 3a / 2) [/ matemáticas]? Estos se pueden encontrar aplicando el mismo procedimiento después de cambiar el origen a ese punto .
Deje [math] \ bar {x} = x – 3a / 2 [/ math], [math] \ bar {y} = y – 3a / 2 [/ math]. Ahora, la ecuación es[matemáticas] (\ bar {x} – 3a / 2) ^ 3 + (\ bar {y} – 3a / 2) ^ 3 – [/ matemáticas] [matemáticas] 3a (\ bar x – 3a / 2) (\ barra y – 3a / 2) = 0 [/ matemática].
De esto, necesitamos eliminar todo excepto los términos de menor grado. El término constante está obviamente ausente (para los dos [math] (3a / 2) ^ 3 [/ math] ‘s de los primeros dos términos se cancelan con el [math] 2 (3a / 2) ^ 3 [/ math] del tercero. El siguiente término de menor grado es posiblemente lineal. Esto resulta ser
[matemáticas] 3 \ bar x (3a / 2) ^ 2 + 3 \ bar y (3a / 2) ^ 2 + 3a (\ bar x + \ bar y) (3a / 2) [/ matemáticas].
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- Si b es la proporción media entre a y c, ¿cuál es la proporción media entre [matemáticas] (a ^ 2 + b ^ 2) \ text {y} (b ^ 2 + c ^ 2) [/ matemáticas]?
- Se argumenta que usamos el sistema decimal porque tenemos 10 dedos. Un marciano lee la operación 15 + 5 y escribe, con razón, que el resultado es 22. ¿Cuántos dedos tiene el marciano?
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Por lo tanto, [matemáticas] 5 (3a / 2) ^ 2 (\ bar x + \ bar y) = [/ matemáticas] es la tangente. Es decir, [matemáticas] \ bar x + \ bar y = 0 [/ matemáticas]. Transformando de nuevo a [matemática] x [/ matemática] y [matemática] y [/ matemática], la línea [matemática] \ mathbf {x + y = 3a} [/ matemática] es la tangente en [matemática] \ mathbf {( 3a / 2, 3a / 2)} [/ matemáticas].
- Ahora que hemos encontrado las tangentes, encontraremos las asíntotas utilizando otro método extraño. Suponga que [math] y = mx + c [/ math] es una asíntota. Para determinar [matemáticas] m [/ matemáticas] y [matemáticas] c [/ matemáticas], sustituimos [matemáticas] y = mx + c [/ matemáticas] en la ecuación de la curva para obtener una ecuación en términos de [matemáticas] x [/ math]:
[matemática] x ^ 3 + (mx + c) ^ 3 – 3ax (mx + c) = 0 [/ matemática]
En esta ecuación, intentamos que desaparezcan los términos de grado más alto y el siguiente más alto, igualando sus coeficientes a cero. Estos son los términos cúbicos y cuadráticos, y sus coeficientes se ven como [matemática] 1 + m ^ 3 [/ matemática] y [matemática] 3m ^ 2c – 3am [/ matemática]. Igualando el primero a cero, obtenemos [math] m = -1 [/ math]. Entonces la segunda ecuación se convierte en [matemática] 3m ^ 2c + 3a = 0 [/ matemática], de modo que [matemática] c = -a [/ matemática]. Por lo tanto, [matemáticas] y = mx + c = -x – a [/ matemáticas]. Por lo tanto, la asíntota es [math] \ mathbf {x + y = -a} [/ math].
Con estos puntos en mente dibuje el gráfico:
