Pregunta originalmente respondida: ¿Podrías ayudarme a entender este problema de lógica de sentencia?
No podía entender por qué hicimos ~ P en el paso 2. Cuando miro el paso 5, entiendo por qué lo hicimos, pero realmente no puedo entender cómo puedo saber que debo hacer ~ P en el paso 2
Esta deducción está utilizando la lógica proposicional clásica para demostrar: [matemáticas] \ lnot \ lnot P \ supset P [/ math].
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Fusiona varios pasos en uno en la línea 5. La deducción completa sería la siguiente:
[matemáticas] \ begin {array} {c | ll} 1 & \ lnot \ lnot P & \ text {Suposición} \\ 2 & \ lnot P & \ text {Suposición} \\ 3 & \ lnot \ lnot P & \ text {De la línea 1 por reiteración} \\ 4 & \ lnot P & \ text {De la línea 2 por reiteración} \\ 5 & \ lnot P \ land \ lnot \ lnot P & \ text {De las líneas 3 y 4 por} \ land \ text {-introducción. ¡Una contradicción!} \\ 6 & \ lnot \ lnot P & \ text {De las líneas 2 a 5 por} \ lnot \ text {-introduction} \\ 7 & P & \ text {De la línea 6 por} \ lnot \ text {-elimination} \ \ 8 & \ lnot \ lnot P \ supset P & \ text {De la línea 1 a la 7 por} \ supset \ text {-introducción, descargando el supuesto en la línea 1} \ end {array} [/ math]
Observe que la línea 5 en la prueba original, como está escrita implícitamente, usa la regla de eliminación [math] \ lnot [/ math] que hace que esta prueba no sea una prueba. La conclusión de una contradicción causada por una suposición, es la negación de esa suposición, como está escrita correctamente en la línea 6 de mi versión de la prueba. Dado que la suposición era [matemática] \ lnot P [/ matemática], la conclusión de esa parte de la prueba debe ser [matemática] \ lnot \ lnot P [/ matemática] y no [matemática] P [/ matemática]. ¡Entonces este argumento particular asume la conclusión!
De hecho, la mayor parte de la prueba tal como está escrita originalmente es un desvío inútil. La prueba simplemente se puede dar como:
[matemáticas] \ begin {array} {c | ll} 1 & \ lnot \ lnot P & \ text {Suposición} \\ 2 & \ lnot \ lnot P & \ text {Desde la línea 1 por reiteración} \\ 3 & P & \ text {Desde la línea 2 por} \ lnot \ text {-elimination} \\ 4 & \ lnot \ lnot P \ supset P & \ text {De la línea 1 a la 3 por} \ supset \ text {-introducción, descargando el supuesto en la línea 1} \ end {array }[/matemáticas]
Esto es relevante simplemente porque la única diferencia entre la lógica proposicional clásica e intuicionista es precisamente que la lógica intuicionista no tiene la regla de eliminación de [matemáticas] \ lnot [/ matemáticas] y, de hecho, en la lógica intuicionista no sostiene que [matemáticas] \ lnot \ lnot P \ supset P [/ math]!
Ahora su pregunta es sobre la línea 2. La línea 2 es parte de un enfoque estándar para probar una implicación [matemática] A \ supset B [/ matemática].
La única forma en que tal implicación puede ser falsa es si el antecedente [matemática] A [/ matemática] es verdadero y la consiguiente [matemática] B [/ matemática] es falsa. Entonces, si la proposición [math] A \ supset B [/ math] es realmente cierta, entonces asumir tanto [math] A [/ math] como [math] \ lnot B [/ math] debe conducir a una contradicción.
En su caso particular, eso significa que para intentar probar [matemáticas] \ lnot \ lnot P \ supset P [/ math], asumiremos que el antecedente [math] \ lnot \ lnot P [/ math] es verdadero y que la [math] P [/ math] consecuente es falsa, es decir: [math] \ lnot P [/ math]. Si esos supuestos conducen a una contradicción, entonces sabremos que la implicación no puede ser falsa y, por lo tanto, que es cierta.
Esperemos que esto le ayude a entender por qué elegimos asumir [math] \ lnot P [/ math] en la línea 2.
