Gran pregunta!
Primero, debemos aclarar lo que queremos decir cuando decimos que dos fórmulas [matemáticas] \ phi [/ matemáticas] y [matemáticas] \ psi [/ matemáticas] son lógicamente equivalentes . Para la lógica de predicados (en relación con aquellas fórmulas con solo predicados [matemática] P, Q,… [/ matemática] conectivos [matemática] \ a, \ neg, \ land, … [/ matemática] y paréntesis), significa que cualquier asignación de verdad a los predicados [matemática] P, Q,… [/ matemática] estará de acuerdo en [matemática] \ phi [/ matemática] y [matemática] \ psi [/ matemática]. Es decir, las fórmulas tienen exactamente el mismo valor de verdad bajo cualquier interpretación de los predicados.
Entonces, ¿cómo hacemos para establecer que dos fórmulas exhiban esta equivalencia? Para empezar, las fórmulas son finitas y, por lo tanto, contienen muchos predicados. Esto significa que se puede verificar que cada asignación de verdad a los predicados involucrados en cualquiera de las dos fórmulas asigna el mismo valor de verdad a ambas fórmulas. Para fórmulas cortas como [math] \ neg (P \ to Q) [/ math] y [math] P \ lor \ neg Q [/ math], esto es sumamente factible. Sin embargo, vemos que cada vez que intervienen [matemáticos] n [/ matemáticos] distintos predicados, el número de asignaciones de verdad que debemos examinar es [matemática] 2 ^ n [/ matemática], que crece tan rápidamente con respecto a [matemática] ] n [/ math] que la tarea se vuelve inviable, e incluso para pequeños [math] n [/ math] muy aburrido.
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Afortunadamente, los matemáticos idearon sistemas de prueba , que transforman el procedimiento de memoria de verificar las tablas de verdad en un rompecabezas divertido y desafiante. Los matemáticos ya hicieron todo el trabajo para demostrar que los sistemas de prueba son sólidos y completos, que podemos confiar plenamente en ellos para establecer relaciones lógicas.
Este es uno de mis sistemas de prueba favoritos para la lógica de predicados.
Una prueba es una secuencia de líneas.
1 .____________
2 .____________
…
norte.____________
tal que cada línea sea una instanciación de uno de los esquemas del axioma
1. [matemáticas] \ phi \ to (\ psi \ to \ phi) [/ math]
2. [matemáticas] (\ phi \ to (\ psi \ to \ chi)) \ to ((\ phi \ to \ psi) \ to (\ phi \ to \ chi)) [/ math]
3. [matemáticas] (\ neg \ phi \ to \ neg \ psi) \ to ((\ neg \ phi \ to \ psi) \ to \ chi)) [/ math]
O
la línea sigue por modus ponens de dos líneas anteriores, es decir, líneas
yo. [matemáticas] \ phi \ a \ psi [/ matemáticas]
j. [matemáticas] \ phi [/ matemáticas]
permítanos insertar una nueva línea
norte. [matemáticas] \ psi [/ matemáticas].
Si puede encontrar pruebas válidas de [matemáticas] (\ neg (P \ to Q)) \ a (P \ lor \ neg Q)) [/ math] y [math] (P \ lor \ neg Q) \ a (\ neg (P \ to Q)) [/ math] habrá demostrado que las dos fórmulas son equivalentes. ¡Adelante, pruébalo! Si de hecho son equivalentes, tiene la seguridad (por la integridad del sistema) de que existe alguna prueba válida; También está seguro de que la búsqueda será muy divertida.
