“ [Matemáticas] a [/ matemáticas] es menor que [matemáticas] b [/ matemáticas] “.
En lógica matemática, esto se llama fórmula (aunque no se parece mucho a las fórmulas a las que estás acostumbrado). Dice algo sobre las variables [matemática] a [/ matemática] y [matemática] b [/ matemática], pero como esas son variables, no sabemos cuáles son sus valores.
Por lo tanto, no podemos decir si esta fórmula es verdadera o falsa. ¿Es [matemáticas] a [/ matemáticas] menor que [matemáticas] b [/ matemáticas]? Encogimiento de hombros, no lo sé. Dime cuáles son y te haré saber si eso es cierto.
Esta fórmula trata sobre las variables [matemáticas] a [/ matemáticas] y [matemáticas] b [/ matemáticas]. ¿Es cierto cuando [matemáticas] a = 4 [/ matemáticas] y [matemáticas] b = 23 [/ matemáticas]? Si. ¿Es cierto cuando [matemáticas] a = 999 [/ matemáticas] y [matemáticas] b = 163 [/ matemáticas]? No. ¿Es cierto cuando [matemáticas] a = 5 [/ matemáticas]? No sé, depende de [matemáticas] b [/ matemáticas]. La fórmula no es una declaración sobre cómo es el mundo. Se trata de [matemáticas] a [/ matemáticas] y [matemáticas] b [/ matemáticas].
Veamos otra fórmula.
“Por cada [matemática] a [/ matemática] , [matemática] a [/ matemática] es menor que [matemática] b [/ matemática] “.
¿Es eso cierto? Todavía no lo sabemos, pero esto ya no dice algo sobre [matemáticas] a [/ matemáticas] y [matemáticas] b [/ matemáticas]. Solo dice algo sobre [matemáticas] b [/ matemáticas]. Si te dijera qué es [matemática] b [/ matemática], podrías decirme si esto es cierto. La variable [math] a [/ math] se ha cuantificado , no es necesario que se le dé un valor.
La fórmula dice que [matemática] b [/ matemática] es mayor que cualquier [matemática] a [/ matemática] que elija: “[matemática] b [/ matemática] es mayor que cualquier cosa”. ¿Es eso cierto cuando [matemáticas] b = 7 [/ matemáticas]? No. ¿Es cierto cuando [matemáticas] b = 100000 [/ matemáticas]? No. De hecho, no es cierto para ninguna [matemática] b [/ matemática], pero independientemente, no es una oración con un valor de verdad. Es una fórmula que expresa una propiedad del número desconocido [math] b [/ math].
Aquí está otro:
“Hay una [matemática] b [/ matemática] tal que [matemática] a [/ matemática] es menor que [matemática] b [/ matemática] “.
Ahora tenemos una declaración sobre el número desconocido [matemáticas] a [/ matemáticas], mientras que [matemáticas] b [/ matemáticas] se ha cuantificado. En palabras, dice “[matemáticas] a [/ matemáticas] es más pequeño que algo”. ¿Es eso cierto cuando [matemáticas] a = 4 [/ matemáticas]? Seguro. ¿Y cuándo [matemáticas] a = 100000 [/ matemáticas]? Seguro. De hecho, es cierto para cualquier [matemática] a [/ matemática] que desee elegir, pero independientemente, es una declaración sobre el número [matemática] a [/ matemática], no una oración completa con un valor de verdad definido.
Finalmente, considere lo que sucede cuando cuantificamos ambas variables. Tomaremos las dos últimas fórmulas, y cuantificaremos la variable que aún no está cuantificada (llamada libre ) en cada una.
- “Hay una [matemática] b [/ matemática] tal que, por cada [matemática] a [/ matemática], [matemática] a [/ matemática] es menor que [matemática] b [/ matemática]”.
- “Por cada [matemática] a [/ matemática], hay una [matemática] b [/ matemática] tal que [matemática] a [/ matemática] es menor que [matemática] b [/ matemática]”.
Tomamos la primera declaración, la que era sobre [matemáticas] b [/ matemáticas], y cuantificamos [matemáticas] b [/ matemáticas] para que diga “existe tal [matemáticas] b [/ matemáticas]” . ¿Hay? No. No hay [matemática] b [/ matemática] que sea mayor que nada. Entonces esta fórmula, que ahora es una oración real con un valor de verdad, es falsa .
Luego tomamos la otra fórmula, la que dice que [matemáticas] a [/ matemáticas] es menos que algo, y cuantificamos [matemáticas] a [/ matemáticas] para decir que esto es cierto para cada [matemáticas] a [/ matemáticas]. ¿Lo es? Seguro. Cada número [matemáticas] a [/ matemáticas] tiene algún número [matemáticas] b [/ matemáticas] que es mayor. Esta oración es verdadera .
Pero observe estas oraciones: la única diferencia entre ellas es el orden en que se cuantifican las variables. El primero dice “hay una [matemática] b [/ matemática] con la loca propiedad de que es más grande que cualquier [matemática] a [/ matemática]”. Tonterías. El segundo dice “cada [matemática] a [/ matemática] es menos que algunas [matemáticas] b [/ matemáticas] “. Obviamente cierto.
Por eso es importante el orden en que se cuantifican las variables. Importa mucho Una de las cosas más útiles para hacer cuando estudias matemáticas es asegurarte de que entiendes esto completamente, definitivamente y sin confusión . Este es uno de los mayores obstáculos para los estudiantes de análisis real, por ejemplo.
Aquí hay ejemplos para que reflexione. ¿Cuál de estos es verdadero y cuál es falso?
- Hay un número natural [matemática] a [/ matemática] tal que para cada número natural [matemática] b [/ matemática], [matemática] a \ leq b [/ matemática].
- Para cada número natural [matemática] b [/ matemática] hay un número natural [matemática] a [/ matemática] tal que [matemática] a \ leq b [/ matemática].
- Hay un número natural [matemática] a [/ matemática] tal que para cada número natural [matemática] b [/ matemática], [matemática] a> b [/ matemática].
- Para cada número natural [matemática] b [/ matemática] hay un número natural [matemática] a [/ matemática] tal que [matemática] a> b [/ matemática].
- Para cada casa en mi calle hay una persona que vive en esa casa.
- Hay una persona tal que, por cada casa en mi calle, esa persona vive en esa casa.
- Para cada país X hay una ciudad Y tal que Y es la capital de X.
- Hay una ciudad Y tal que para cada país X, Y es la capital de X.
- Para cada ciudad Y hay un país X tal que Y es la capital de X.
- Hay un país X tal que para cada ciudad Y, Y es la capital de X.
Invente algunas propias y, con suerte, esto comenzará a tener sentido.
