Aquí hay material introductorio sobre el conteo utilizando el lema de Burnside y el Índice de patrones de Polya si desea repasar antes de leer.
Introducción 1
Introducción 2
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- Para un matemático, ¿hay alguna diferencia entre 4 + 5 y 5 + 4?
- Cómo configurar VoLTE en un Redmi 3S
- ¿Cuál es la explicación de la ecuación 1-4.6 en el libro "Cálculo exterior aplicado"?
- ¿Cuál es el significado de divergente y convergente en el método numérico, es decir, en el método de Gauss Seidel?
Hay dos interpretaciones que puedo ver:
- Desea los colores de un dodecaedro usando exactamente 12 colores (es decir, 1 color por cara).
- Desea los colores de un dodecaedro usando como máximo 12 colores (es decir, tiene 12 macetas de pintura de diferentes colores para usar como desee).
En cualquier caso, lo mejor sería atacar esto usando el índice de ciclo para las simetrías rotacionales de un dodecaedro (como se aludió) que es:
[matemáticas] P_G (z_1, z_2, z_4, z_5) = \ frac {1} {60} \ left (z_1 ^ {12} \, + \, 15 \, z_2 ^ 6 \, + \, 20 \, z_3 ^ 4 \, + \, 24 \, z_1 ^ 2 \, z_5 ^ 2 \ right) [/ math]
Esto proviene de las simetrías de un dodecaedro regular que son:
- [math] 1 [/ math] rotación de identidad que da lugar al término [math] z_1 ^ {12} [/ math].
- [matemática] 1 \ cdot 15 = 15 [/ matemática] rotaciones de [matemática] 180 ^ {\ circ} [/ matemática] alrededor de ejes entre centros de bordes opuestos. Esto da lugar al término [matemáticas] 15 \, z_2 ^ 6 [/ matemáticas].
- [matemática] 2 \ cdot 10 = 20 [/ matemática] rotaciones de [matemática] 120 ^ {\ circ} [/ matemática] sobre ejes entre vértices opuestos. Esto da lugar al término [matemáticas] 20 \, z_3 ^ 4 [/ matemáticas].
- [matemática] 4 \ cdot 6 = 24 [/ matemática] rotaciones de [matemática] 72 ^ {\ circ} [/ matemática] alrededor de ejes entre centros de caras opuestas. Esto da lugar al término [matemáticas] 24 \, z_1 ^ 2 \, z_5 ^ 2 [/ matemáticas].
Como hay 60 rotaciones en total, este es el tamaño del grupo de rotaciones [matemática] G [/ matemática] (es decir, [matemática] | G | = 60 [/ matemática]).
En el caso 1, su objetivo es reemplazar [math] z_k = \ sum_ {i = 1} ^ {12} c_i ^ k [/ math] en la expresión anterior ([math] c_i [/ math] es la etiqueta para [ matemática] i ^ {\ text {th}} [/ math] color). Entonces, el coeficiente del término [math] \ prod_ {i = 1} ^ {12} c_i [/ math] produce el recuento deseado. En este caso, el único término con [math] \ prod_ {i = 1} ^ {12} c_i [/ math] surge de [math] z_1 ^ {12} = \ left (\ sum_ {i = 1} ^ { 12} c_i \ right) ^ {12} [/ math] term. El coeficiente viene dado por la expansión multinomial de esto como [math] 12! / (1!) ^ {12} [/ math] y, por lo tanto, el número de colorantes con exactamente 12 colores utilizados es
[matemática] \ izquierda [\ prod \ limits_ {i = 1} ^ {12} c_i \ derecha] P_G = \ dfrac {1} {60} \ cdot \ dfrac {12!} {1! ^ {12}} = 7 \, 983 \, 360 \ qquad \ blacksquare [/ math]
En el caso 2, el objetivo es reemplazar [math] z_k = m [/ math] en la expresión para el índice del patrón. Donde [math] m = 12 [/ math] es el número de colores disponibles *, esto proporciona los colores usando como máximo 12 colores como
[matemáticas] P_G (m, m, m, m) = \ frac {1} {60} \ left (m ^ {12} \, + \, 15 \, m ^ 6 \, + \, 20 \, m ^ 4 \, + \, 24 \, m ^ 4 \ derecha) [/ matemáticas]
[matemáticas] = \ frac {1} {60} \ left (12 ^ {12} \, + \, 15 \ cdot 12 ^ 6 \, + \, 20 \ cdot 12 ^ 4 \, + \, 24 \ cdot 12 ^ 4 \ derecha) [/ matemáticas]
[matemáticas] = 148 \, 602 \, 435 \, 840 \ qquad \ blacksquare [/ math]
* En esencia, esto es lo mismo que poner todo [math] c_i = 1 [/ math] en el caso anterior, sin embargo, esta vez no nos interesan los coeficientes específicos sino la expresión completa.
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