[matemáticas] \ log_ {2} 3 + \ log_ {3} 4 + \ log_ {4} 5 \ = \ frac {ln3} {ln2} + \ frac {ln4} {ln3} + \ frac {ln5} {ln4 } \ = \ frac {ln (2 + 1)} {ln2} + \ frac {ln (3 + 1)} {ln3} + \ frac {ln (4 + 1)} {ln4} [/ math]
Usando la serie Maclaurin de ln (a + x)
[matemáticas] \ ln (a + x) = ln (a) + \ frac {x} {a} – \ frac {x ^ 2} {2a ^ 2} + \ frac {x ^ 3} {3a ^ 3} – \ frac {x ^ 4} {4a ^ 4} + \ cdots + \ infty [/ math]
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Sustituir x = 1
[matemáticas] \ ln (a + 1) = ln (a) + \ frac {1} {a} – \ frac {1} {2a ^ 2} + \ frac {1} {3a ^ 3} – \ frac { 1} {4a ^ 4} + \ cdots + \ infty [/ math]
Teniendo en cuenta los términos en serie teniendo en cuenta la aproximación requerida a 1 decimal.
Entonces,
[matemática] \ ln (1 + 1) \ aprox ln (1) + 1 – \ frac1 {2} + \ frac1 {3} – \ frac1 {4} + \ frac1 {5} \ = 0.8 [/ matemática]
[matemática] \ ln (2 + 1) \ aprox ln (2) + \ frac1 {2} – \ frac1 {8} + \ frac1 {24} \ = 1.2 [/ matemática]
[matemáticas] \ ln (3 + 1) \ aprox ln (3) + \ frac1 {3} – \ frac1 {18} + \ frac1 {81} – \ frac1 {324} \ = 1.5 [/ matemáticas]
[matemáticas] \ ln (4 + 1) \ aprox ln (4) + \ frac1 {4} – \ frac1 {32} + \ frac1 {192} \ = 1.7 [/ matemáticas]
Es obvio que los valores anteriores son una sobreestimación de los valores reales.
Entonces, [matemáticas] \ log_ {2} 3 + \ log_ {3} 4 + \ log_ {4} 5 \ = \ frac {1.2} {0.8} + \ frac {1.5} {1.2} + \ frac {1.7} {1.5} \ = 3.78 [/ matemáticas]
Entonces, [matemáticas] \ log_2 3 + \ log_3 4 + \ log_4 5> 3.6 [/ matemáticas]
¿Cómo? Si puede recordar que la relación de valores exagerados da el valor menor de la relación y, de hecho, el valor real de la expresión está por encima de 4.0000