Como esto parece una transformación de Fourier, supondré que el rango de integración es de menos infinito a infinito.
[matemáticas] e ^ {- | x | ^ 2} = \ int ^ {\ infty} _ {- \ infty} dwe ^ {iwx} e ^ {- w ^ 2 \ gamma} [/ math]
Tenga en cuenta que no hay un valor absoluto en w ya que es real.
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Completa el cuadrado en la integral
[matemáticas] e ^ {- | x | ^ 2} = \ int ^ {\ infty} _ {- \ infty} dwe ^ {- \ gamma \ left (w ^ 2 + 2 \ frac {iwx} {2 \ gamma } – \ frac {x ^ 2} {4 \ gamma ^ 2} \ right) – \ frac {x ^ 2} {4 \ gamma}} [/ math]
Calculando la integral
[matemática] e ^ {- | x | ^ 2} = \ sqrt {\ frac {\ pi} {\ gamma}} e ^ {- \ frac {x ^ 2} {4 \ gamma}} [/ math]
Por lo tanto, la ecuación es verdadera solo cuando x y [math] \ gamma [/ math] satisfacen la relación anterior. Para x real esto puede simplificarse a
[matemáticas] x = \ pm \ sqrt {\ frac {ln (\ gamma / \ pi)} {2 \ left (1+ \ frac {1} {4 \ gamma} \ right)}} [/ math]
