¿Cuál es la diferencia entre un grupo y un campo?

Cada campo es un grupo, pero no todos los grupos son un campo. Para ser un campo, un grupo debe tener ciertas propiedades y estructura adicionales.

Un grupo es un conjunto de elementos G junto con una operación asociativa que asigna dos elementos de G a otro elemento de G , donde hay un elemento de identidad y donde cada elemento tiene un inverso. Un ejemplo de esto es el conjunto de enteros bajo suma, que resulta ser un grupo conmutativo ya que a + b = b + a para cualquiera de los dos enteros ay b . Pero un grupo, en general, no es necesariamente conmutativo. Por ejemplo, el grupo de simetría de un cuadrado (el grupo diédrico de orden 8) no es conmutativo porque una rotación de 90 grados en sentido horario seguido de una reflexión horizontal no produce el mismo resultado que una reflexión horizontal seguida de una rotación de 90 grados en sentido horario.

Un campo es un grupo conmutativo que también tiene una segunda operación asociativa y conmutativa que asigna dos elementos de G a otro elemento de G , donde hay un elemento de identidad, donde cada elemento, excepto la identidad de la operación del grupo, tiene un inverso, y donde La segunda operación se distribuye sobre la primera. Tenga en cuenta que esta segunda operación no es una operación grupal ya que no todos los elementos tienen un inverso. El ejemplo prototípico de un campo es el conjunto de números racionales: es un grupo conmutativo bajo suma, con elemento de identidad 0. La segunda operación es la multiplicación, con el elemento de identidad 1. Cada elemento tiene un inverso multiplicativo, excepto 0, y la multiplicación distribuye sobre adición, es decir, a ( b + c ) = ab + ac .

Otro objeto algebraico relacionado importante es un Anillo, que tiene algunas, pero no necesariamente todas las propiedades de un campo. En particular, la segunda operación de un anillo no es necesariamente conmutativa, y no necesariamente tiene inversas (es decir, la operación de división). A veces, los anillos se definen de modo que la segunda operación no necesariamente tenga una inversa. Entonces, un campo es un anillo de división conmutativo con identidad. El ejemplo prototípico de un anillo es el conjunto de enteros bajo suma y multiplicación. Resulta ser un anillo conmutativo con identidad ya que hay un elemento de identidad multiplicativo y la multiplicación entera es conmutativa.