Este conjunto de ideas matemáticas se origina en la física. Básicamente, uno está interesado en conocer la fuerza ejercida por un átomo (o una partícula elemental) y, por lo tanto, su potencial. La única forma experimental que conocemos es golpear el átomo con algunas partículas de alta velocidad y ver cómo se dispersan por el átomo. Este es el problema de dispersión inversa: determine el potencial de los datos de dispersión. Esto es cierto desde el experimento inicial Geiger-Marsden hasta los últimos aceleradores de partículas.
Existe una gran variedad de tales problemas, pero me concentraré aquí en el caso unidimensional. En el caso mecánico clásico de Newton, la solución explícita utiliza la transformación de Abel para encontrar el potencial explícito. En el caso de la mecánica cuántica, las cosas son bastante más complicadas.
Supongamos que tenemos un potencial [matemático] V [/ matemático] con suficiente regularidad y disminución en el infinito (suposición muy poco física para el potencial de Netwon, por ejemplo, pero pasemos por eso). Entonces la ecuación de Schrödinger es
[matemáticas] – \ frac {\ partial ^ 2 u} {\ partial x ^ 2} + V u = \ lambda u [/ math]
Los datos de dispersión se forman de la siguiente manera:
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- Un conjunto finito de estados delimitados [math] (u_i, \ lambda_i) [/ math] con [math] \ lambda_i <0 [/ math] y [math] u_i [/ math] comportándose asintóticamente como [math] u_i \ simeq \ exp (\ sqrt {- \ lambda_i} x) [/ math] en [math] x \ to – \ infty [/ math] y [math] u_i \ simeq K_i \ exp (- \ sqrt {\ lambda_i} x) [ / math] en [math] x \ to \ infty [/ math].
- Un espectro continuo para cualquier [math] \ lambda> 0 [/ math] formado por estados que tienen expresión asintótica [math] \ exp (i \ sqrt {\ lambda} x) + r (\ lambda) \ exp (-i \ sqrt {\ lambda} x) [/ math] en [math] x \ to – \ infty [/ math] y [math] t (\ lambda) \ exp (i \ sqrt {\ lambda} x) [/ math] en [matemáticas] x \ a \ infty [/ matemáticas]. [math] r (\ lambda} [/ math] es el coeficiente de reflexión y [math] t (\ lambda) [/ math] es el coeficiente de transmisión .
A partir de los datos [math] (\ lambda_i, K_i) [/ math] y [math] (r (\ lambda), t (\ lambda)) [/ math] se puede reconstruir el potencial. La ecuación es la ecuación de Marchenko que resuelve el problema de dispersión inversa para la mecánica cuántica unidimensional.
Resulta que este no es el final de la historia. Una serie de ecuaciones diferenciales parciales, la más destacada es la ecuación de Korteweg-de Vries, son sistemas integrables que admiten una infinidad de cantidades preservadas además de las obvias, como la energía. El problema de evolución temporal para [matemáticas] u (x, t) [/ matemáticas] se resuelve considerando [matemáticas] u (x, 0) [/ matemáticas] como un potencial mecánico cuántico, calculando los datos de dispersión [matemáticas] SD ( 0) [/ math], cambiándolos por alguna fórmula simple a las del tiempo [math] t [/ math], [math] SD (t) [/ math] y luego usando la ecuación de Marchenko para encontrar el valor de [ matemáticas] u (x, t) [/ matemáticas].
Esta es la transformación de dispersión inversa y fue un gran logro de los años 60. Muchas ideas matemáticas nuevas surgieron de ese punto de partida, aunque para ser justos es difícil usar el IST para cálculos prácticos.
