Si [matemáticas] a \ ne b [/ matemáticas] y [matemáticas] a + b = 1 [/ matemáticas], entonces ¿cuál es el valor más bajo de [matemáticas] a ^ {-1} + b ^ {-1} [ /matemáticas] ?

* A2A

Como no se especifica nada sobre la naturaleza de [matemáticas] a, b [/ matemáticas], soy libre de usar lo que quiera.

Método 1: desigualdad media aritmética media-armónica

[matemáticas] \ text {Considerando} a, b> 0 \, \ text {usando} AM \ ge HM \\\ begin {align} \ dfrac {a + b} 2 & \ ge \ dfrac2 {\ dfrac1a + \ dfrac1b} \ \\ dfrac12 & \ ge \ dfrac2 {\ dfrac1a + \ dfrac1b} \\\ dfrac2 {\ dfrac1a + \ dfrac1b} & \ le \ dfrac12 \\\ dfrac {\ dfrac1a + \ dfrac1b} 2 & \ ge2 \\\ dfrac1a + \ dfrac1a + \ dfrac1a + \ dfrac1a + \ dfrac1a + \ d \\\ hline \ text {Since} a & \ neq b, \ text {tenemos} \\\ dfrac1a + \ dfrac1b & \ in (4, \ infty) \ end {align} \ tag * {} [/ math]

Método 2: uso del cálculo

[matemáticas] \ begin {align} f (a, b) & = \ dfrac1a + \ dfrac1b \\ f (a) & = \ dfrac1a + \ dfrac1 {1-a} \\ f ‘(a) & = 0 \\ – \ dfrac1 {a ^ 2} + \ dfrac1 {(1-a) ^ 2} & = 0 \\ – (1-a) ^ 2 + a ^ 2 & = 0 \\ – 1 + 2a-a ^ 2 + a ^ 2 & = 0 \\ 2a & = 1 \\ a & = \ dfrac12 \\ b & = \ dfrac12, \ qquad [\ porque a + b = 1] \\\ text {Since} & a \ neq b \\\ text {Por lo tanto } \ dfrac1a + \ dfrac1b & \ text {no se puede determinar} \ end {align} \ tag * {} [/ math]

Método 3: usar multiplicadores de Lagrange

[matemáticas] \ begin {align} & \ begin {cases} \ text {Optimize} f (a, b) = \ dfrac1a + \ dfrac1b \\\ text {Con respecto a la restricción} \\ S = a + b-1 \\ a, b> 0 \ end {cases} \\\ hline & f_a = – \ dfrac1 {a ^ 2} \ qquad f_b = – \ dfrac1 {b ^ 2} \\ & S_a = 1 \ qquad \ qquad S_b = 1 \\\ hline & \ text {Usando multiplicadores de Lagrange …} \\ & – \ dfrac1 {a ^ 2} = – \ dfrac1 {b ^ 2} = \ lambda \\ & \ qquad \ dfrac1 {a ^ 2} – \ dfrac1 {b ^ 2} = 0 \\ & \ qquad \ left (\ dfrac1a + \ dfrac1b \ right) \ left (\ dfrac1a- \ dfrac1b \ right) = 0 \\ & \ qquad \ boxed {\ dfrac1a + \ dfrac1b = 0 } \ end {align} \ tag * {} [/ math]

Esto es posible cuando [math] a = -b \ qquad \ forall a, b \ in \ R \ setminus \ left \ {0 \ right \} [/ math]

Pero como [math] a + b = 1 [/ math], nuevamente, este método no nos da el valor óptimo para [math] a ^ {- 1} + b ^ {- 1} [/ math]

Y si resolvemos el otro factor [math] \ dfrac1a- \ dfrac1b = 0 [/ math], obtenemos [math] a = b [/ math], violando nuevamente la condición de que [math] a \ neq b [/ matemáticas]

déjame cambiar (a, b) a (x, y)

f (x, y) = 1 / x + 1 / y = (x + y) / (xy) = 1 / (xy), x ≠ y. → x, y ≠ ½

f (x) = 1 / x (1-x) = 1 / g (x)

g (x) = x (1-x)

g (máx.) = g (½) = ¼

f (min) = 1 / g (max) = 1 / ¼ = 4