En lógica, ¿por qué (p & not-p) es una contradicción mientras que (si p, entonces no-p) no es una contradicción?

p & not-p es la afirmación de que p es verdadero y no-p también es cierto. Supongo que puedes ver por qué eso es problemático. Uno u otro debe ser cierto, pero ambos nunca pueden serlo, de ahí la contradicción.

Si p, entonces no-p dice que SI p es verdadero, entonces no-p es verdadero. La razón por la que esto no comparte el mismo problema radica en el caso en que no-p es verdadero. Ves cuando no-p es verdadero, entonces p es falso. Y cualquier reclamo que comience con “Si es FALSO” es automáticamente cierto. En otras palabras, si comienza asumiendo algo que es FALSO, puede llegar a la conclusión que desee. Tales declaraciones no tienen valor porque se basan en una suposición errónea, pero eso no las hace falsas, solo inútiles. Si p, entonces no-p es completamente inútil, pero no es una contradicción.

Tenga en cuenta que a continuación voy a usar 0 para “falso” y 1 para “verdadero”.

p & ~ p siempre es falso. Una conjunción solo es verdadera cuando ambas proposiciones son verdaderas.
En este caso, si p es verdadero, entonces (p & ~ p) es verdadero, y si p es falso, entonces (p & ~ p) también es falso.

En una tabla de verdad, la última línea, es decir, para (p & ~ p) es falsa para ambas líneas:

p = 1 , ~ p = 0 (p & ~ p) = 0
p = 0 , ~ p = 1 (p & ~ p) = 0

Para (p => ~ p), una de las dos líneas es verdadera , es decir, cuando p es falsa.

p = 1 , ~ p = 0 (p => ~ p) = 0
p = 0 , ~ p = 1 (p => ~ p) = 1

Si este resultado lo desconcierta, recuerde que un condicional solo es falso cuando el antecedente es verdadero y el consecuente es falso.

En la segunda línea, dado que p es falso y ~ p es verdadero, (p => ~ p) es verdadero.

Entonces, no es una contradicción.

Aquí hay un ejemplo de una tabla de verdad para “p”

pq “p”
TTT
TFT
FTF
FFF

Tomando la última columna, esto se puede expresar con (TTFF) (p, q)

Aquí hay un ejemplo de una tabla de verdad para “~ p”

pq “~ p”
TTF
TFF
FTT
FFT

O, tomando la última columna, (FFTT) (p, q)

Aquí hay un ejemplo de una tabla de verdad para “~ (~ p)”

pq “~ (~ p)”
TTT
TFT
FTF
FFF

O, tomando la última columna, (TTFF) (p, q)

Esto muestra cómo p y ~ (~ p) son lógicamente equivalentes, por lo que la expresión “si p entonces no ~ p” expresa una tautología

Vaya, lógico no está un poco roto en esta respuesta. Lo repararé más tarde.

Porque, aunque [math] p \ implica \ not p [/ math] se ve un poco raro, deja abierta la posibilidad de que [math] \ not p [/ math], que no es necesario que implique [math] p [ /matemáticas] .

De hecho, [matemáticas] (p \ implica \ no p) \ iff \ no p [/ matemáticas], ¡aunque la versión de la izquierda es una forma muy retorcida de decirlo!

En implicación material [matemática] (P \ rightarrow \ neg P) [/ matemática] es equivalente a ([matemática] \ neg [/ matemática] [matemática] P \ vee \ neg P), [/ matemática] que es equivalente a [matemáticas] \ neg P. [/ matemáticas] Y claramente [matemáticas] \ neg P [/ matemáticas] no es una contradicción.

Básicamente, la extrañeza proviene del hecho de que usamos implicación material (regla de inferencia) – Wikipedia.

Puede verificar con tablas de verdad que P implica que P no es verdadero si P es falso, y que P y no P es falso en cualquier caso.

[math] p \ land \ lnot p [/ math] es una afirmación; [math] p \ Rightarrow \ lnot p [/ math] es un condicional. Se aplican diferentes reglas sintácticas, porque la última tiene una sensación de orden que la primera carece.

Por ejemplo, si digo “Soy verde y no soy verde”, entonces he dicho algo que es claramente inválido. Puedo afirmar en el lenguaje que soy verde y no verde, pero no puede tener ningún significado práctico porque implicaría que soy simultáneamente dos cosas que son mutuamente excluyentes. El único lugar que es válido es en la teoría cuántica (ver el gato de Schrödinger).

Sin embargo, decir “Si soy verde implica que no soy verde” nos permite hacer una conclusión válida: a saber, que no soy verde. Comenzamos con la primera frase, la premisa: “Si soy verde …”. Si esa frase fuera cierta, entonces la conclusión debe ser cierta. Pero sabemos que la conclusión no es verdadera, porque la conclusión contradice la premisa. Por lo tanto, sabemos que la premisa es cierta.

Recuerde, la implicación solo va en una dirección, donde el conector ‘y’ van a la vez:

[matemáticas] \ displaystyle a \ land b \ Leftrightarrow b \ land a, \ text {but} a \ Rightarrow b \ not \ Leftrightarrow b \ Rightarrow a [/ math]

“Llueve y no llueve” es claramente una contradicción. “Si llueve, entonces no llueve” es correcto si no llueve porque no dice nada sobre este caso. Por lo tanto, no es una contradicción. También puedes decir “no llueve”.

Quizás la forma más simple de explicarlo es que la primera es una contradicción rotunda. Este último es condicional y podría conducir a una contradicción.