Si la función [matemática] (x ^ 2-1) / (x-1) [/ matemática] no está definida para [matemática] x = 1 [/ matemática] pero es equivalente a [matemática] x + 1 [/ matemática] , ¿sigue sin estar definido para [matemáticas] x = 1 [/ matemáticas]? ¿Cuál es la regla y el razonamiento aquí?

A2A y TL; DR cantidad de otras respuestas.

La división por cero está explícitamente indefinida en los números reales, por lo tanto * no hay razonamiento usando “for all [math] x [/ math]” para simplificar la expresión. El dominio ** excluye 1.

Puede “extender” la función que se definirá allí:

[matemáticas] f (x) = \ begin {cases} x + 1 \> \ mathbb {if} \> x = 1 \\ (x ^ 2-1) / (x-1) \> \> en otro lugar \ end {casos} [/ matemáticas]

Esta [matemática] f [/ matemática] no es la función en la pregunta, pero es idéntica en la intersección de sus dominios. Y tiene buenas propiedades como en todas partes diferenciables (después de completar el valor límite ** en [matemáticas] x = 1 [/ matemáticas]) y tener una forma simplificada, [matemáticas] f (x) = x + 1 [/ matemáticas ]

* suponiendo que todo esto esté en notación estándar hablando de números en [math] \ mathbb {R} [/ math]

** google / Quora busca esta (s) palabra (s) para más

Entonces, la razón por la que x = 1 no está definida es que el denominador (x-1) es 0 para esa entrada. Eso significa que estaría dividiendo por cero, que actualmente no está definido. Al universo no le gusta cuando intentas dividir por cero …

Además, mencionaste que la ecuación. Es equivalente a x + 1, que puedo explicar. El numerador polinomial de [math] x ^ 2-1 / (x-1) [/ math] puede factorizarse a (x + 1) (x-1) / (x-1). Como hay un (x-1) tanto en el numerador como en el denominador, podemos cancelarlos para su evaluación.

Debido a la restricción en el denominador, el dominio (leído como las entradas válidas) es todos los números reales excepto uno (1).

Espero que esto ayude y buena suerte!

Nota: [matemática] f (x) [/ matemática] [matemática] = [/ matemática] [matemática] \ dfrac {x ^ 2 – 1} {x – 1} [/ matemática]

Si por “eso” quieres decir [matemática] f (x) [/ matemática], entonces, por supuesto, lo es, como sabes y puedes verificar. Pero, si por “eso” quieres decir [matemáticas] x + 1 [/ matemáticas], me temo que también está indefinido. Dejame explicar.

Funciones independientes frente a funciones representativas.

Probablemente te estés diciendo a ti mismo “pero [matemática] x + 1 [/ matemática] es igual a [matemática] 2 [/ matemática] cuando [matemática] x = 1 [/ matemática]”. y tendría razón, sin embargo, apareció [math] x + 1 [/ math], si no me equivoco, como resultado de reducir [math] f (x) [/ math] en los términos más bajos. Y, por lo tanto, [math] x + 1 [/ math] está actuando como un representante de [math] f (x) [/ math] no como una función independiente que se comporta independientemente de ella. Y dado que [math] f (x) [/ math] no puede representar o tomar el valor del número [math] 2 [/ math] cuando [math] x = 1 [/ math] luego [math] x + 1 [/ math] no puede representar el número [math] 2 [/ math] tampoco. Nuevamente, recuerde, [matemática] x + 1 [/ matemática] vino como resultado de reducir [matemática] f (x) [/ matemática]. Esto es lo que debe tener en cuenta cuando reduce una fracción algebraica en los términos más bajos (si eso fue lo que hizo) y luego continúa trabajando con su forma reducida. (es decir, el dominio de la función)

Ahora, si estás preguntando “¿por qué al tomar límites, como por ejemplo

[matemáticas] \ lim \ límites_ {x \ a 1} \ dfrac {x ^ 2 – 1} {x – 1} [/ matemáticas], ¿puede reducir [matemáticas] f (x) [/ matemáticas] a [matemáticas] x + 1 [/ math], ingrese [math] 1 [/ math] para [math] x [/ math] y obtenga [math] 2 [/ math] como su respuesta final? “Buena pregunta.

Funciones independientes en límites

Porque al encontrar límites, utiliza funciones independientes cuando la evaluación inicial de la función original falla, como en el ejemplo anterior. ¿Ves cómo obtienes [matemáticas] \ frac {0} {0} [/ matemáticas] cuando evalúas en [matemáticas] x = 1 [/ matemáticas]? Y la razón por la que puede hacerlo es porque al encontrar límites no se le pide que evalúe la función en el valor x dado (el número al que apunta la pequeña flecha). Lo que se le pide que haga es encontrar el valor y al que se acerca la función original, [math] f (x) [/ math]. No hay nada allí que diga que ese valor y debe provenir de la función original. Puedes usar otra función independiente para ayudarte en esta situación. Qué mejor función usar que la forma reducida de la función original, [matemática] x + 1 [/ matemática]. Por lo tanto, utiliza [math] x + 1 [/ math] no como representante de [math] f (x) [/ math] (ya que también estaría indefinido en [math] x = 1 [/ math]) sino como un sustituto independiente completamente diferente donde obtienes una respuesta en [math] x = 1 [/ math] es decir [math] 2 [/ math]. De hecho, si observa sus gráficos [matemática] y = x + 1 [/ matemática] se ve idénticamente similar a [matemática] f (x) [/ matemática] excepto en [matemática] x = 1 [/ matemática]. Como puede ver, el gráfico [math] y = x + 1 [/ math] llena ese pequeño espacio (agujero) que está en el gráfico [math] f (x) [/ math] que es tan necesario para encontrar el Responda al problema del límite. Si el gráfico de la función original no tuviera ese hueco o agujero, entonces no habría necesidad de encontrar otra función independiente. Evaluar la función original en [math] x = 1 [/ math] sería suficiente para obtener una respuesta.

La respuesta tiene que ver con reconocer que es un error identificar funciones con la sintaxis que usamos para denotarlas. La función denotada por [math] (x ^ 2-1) / x-1 [/ math] se define en todas partes excepto en cero. Al factorizar [matemática] x ^ 2-1 [/ matemática] y dividir obtenemos [matemática] x + 1 [/ matemática] pero eso no cambia el dominio de la función. Si simplemente escribimos [math] x + 1 [/ math] sin mencionar el dominio, estamos hablando de una función diferente, una definida en cero. Dos funciones con el mismo nombre.

Es importante entender que las dos funciones no son equivalentes. Son diferentes funciones.

Sea f (x) = (x ^ 2 – 1) / (x-1) y g (x) = x + 1

g (x) = f (x) en todos los puntos excepto x = 1 porque f (x) no existe en x = 1.

g (x) por otro lado se define para todos los valores de X.

Es fácil ver por qué esto es cierto. En x = 1 f (x) se convierte en 0/0, que es una forma indeterminada. No sabemos lo que significa. Por lo tanto, f (x) no está definido en x = 1. Para g (x), x puede tomar cualquier valor y g (x) seguirá siendo un número. Por lo tanto, g (x) se define en todas partes.

Si realmente quiere decir que g (x) yf (x) son equivalentes, entonces puede querer enmarcarlo así: f (x) yg (x) son equivalentes para todas las x excepto x = 1.

Nota: se dice que g (x) es una extensión continua de f (x) ya que g (x) tiene la misma función que f (x) con la discontinuidad en x = 1 eliminada.

Espero que ayude. ¡Salud!

A2A: es una especie de tecnicismo. Tienes que mirar la expresión utilizada para definir la función. Si esa expresión no está definida en un punto, entonces la función así definida tampoco lo está. Si la expresión se puede simplificar para que se defina en más lugares, entonces, con el fin de definir una función, sería mejor hacerlo.

Técnicamente [matemáticas] \ frac {x ^ 2 – 1} {x – 1} \ en R / \ {1 \} \ rightarrow R [/ math], mientras que [math] x + 1 \ en R \ rightarrow R [/ matemáticas].

Esos dos conjuntos de funciones son, por definición, disjuntos, por lo tanto, las dos funciones no son iguales.

Es por eso que es completamente posible que [math] \ frac {x ^ 2 – 1} {x – 1} [/ math] esté indefinido donde [math] x + 1 [/ math] no lo está.

Lo que quiere decir con equivalencia es la igualdad de ambas funciones en el dominio unido, con la diferencia de que los dos dominios tienen la medida cero. Sí, esa es una forma complicada de explicarlo, pero no, eso no es para fastidiarte, es para descartar errores filosóficos.

La función no está definida en x = 1, ya que 0/0 no tiene sentido. Pero en cualquier otro punto, x-1 es un número distinto de cero y, por lo tanto, la función se reduce a x + 1, que es una función continua. También se puede observar que como x tiende a 1, el valor de la función tiende a 1 + 1 = 2. Por lo tanto, al reemplazar el valor de la función en x = 1 por 2, podemos hacer que la función sea continua en 1. Por lo tanto, la función dada es continua en todas partes excepto en 1 donde tiene una discontinuidad de tipo removible.

Es porque la función en x = 1 está en forma indeterminada , o más bien f (x) = 0/0.

Para evitar esto, debemos usar la Regla de L’Hospital. Esto significa que tomamos la derivada tanto del numerador como del denominador para que la función ya no esté en forma indeterminada.

Comenzando con el numerador, vemos que d / dx = 2x, y luego diferenciando el denominador, obtenemos d / dx = 1.

Reemplazando el numerador y el denominador en la función original, obtenemos 2x / 1 que se reduce a 2x.

La expresion

[matemáticas] \ frac {x ^ 2-1} {x-1} [/ matemáticas]

no está definido cuando [math] x = 1 [/ math], ya que [math] \ frac {0} {0} [/ math] no significa nada. Por lo tanto, considerado como una función,

[matemáticas] f (x) = \ frac {x ^ 2-1} {x-1} [/ matemáticas]

se define para cada [matemática] x \ neq 1 [/ matemática], y no se define en [matemática] x = 1 [/ matemática]. No tiene un valor allí. Su dominio de definición es [math] \ mathbb {R} \ setminus \ {1 \} [/ math].

Por otro lado, la función

[matemáticas] g (x) = x + 1 [/ matemáticas]

se define en todas partes. Estas dos funciones no son las mismas, pero tienen los mismos valores siempre que ambas estén definidas. La función [matemática] g [/ matemática] es una extensión de la función [matemática] f [/ matemática]: la mejora agregando un valor adicional para crear una única función continua. Decimos que [math] f [/ math] tiene una singularidad removible, o una discontinuidad removible.

Lo que hay que recordar aquí es que las expresiones deben interpretarse a medida que se escriben. Transformarlos para crear expresiones “mejores” que tengan un dominio de definición más amplio es algo bueno y útil, pero tales transformaciones no son equivalencias. Producen expresiones potencialmente diferentes que definen diferentes funciones.

[matemática] \ frac {x ^ 2-1} {x-1} [/ matemática] es equivalente a [matemática] x + 1 [/ matemática] solo cuando [matemática] x \ neq 1 [/ matemática]. Simple como eso.

⑴ La función f (x) ≡ (x²-1) / (x-1) no está definida porque f (1) = 0/0 = indeterminado

⑵ Digamos que g (x) = x + 1, g (x) está definido, para todas las x, x∈ | R

⑶ g (x) yf (x) no son equivalentes ni idénticos

Las gráficas de f (x) yg (x) serían la misma línea recta, pero por el hecho de que f (x) tiene un pequeño agujero ° en x = 1

Comenzamos notando que el numerador es una diferencia de cuadrados, así que si recordamos esa fórmula, no es difícil reescribir la función como [(x + 1) (x-1)] / (x-1).

Luego, recordando cómo simplificamos las fracciones, podemos dividir tanto el numerador como el denominador por x-1, dejando (x + 1) / 1, es decir, x + 1. Pero aquí está el truco: si x = 1, entonces x-1 = 0, por lo que no podemos dividir por más de lo que podríamos dividir por cero escrito de la manera habitual, por lo que la fórmula x + 1 no es válida si x = 1 .

No son realmente equivalentes. Puede derivar la segunda función de la primera solo si supone que x nunca será igual a 1.