Cómo calcular [matemáticas] \ int_0 ^ \ infty x ^ 2e ^ {- x ^ 2} \ dx [/ matemáticas]

Puede usar la integración por partes para cambiar esto a

[matemáticas] – \ frac {1} {2} xe ^ {- x ^ 2} \ mid_0 ^ \ infty + \ frac {1} {2} \ int_0 ^ \ infty e ^ {- x ^ 2} \, dx .[/matemáticas]

La última integral tiene valor [matemática] \ frac {\ sqrt {\ pi}} {2}, [/ matemática] que creo que se calcula utilizando técnicas inteligentes de análisis complejo.

EDITAR para agregar:

Para construir sobre las ideas que introdujo Michael Lamar, pero evite usar la función gamma:

Integrar por partes como arriba. Observe que el primer término es 0, y nos quedamos con

[matemáticas] \ frac {1} {2} \ int_0 ^ \ infty e ^ {- x ^ 2} \, dx. [/ matemáticas]

Deje [math] \ text {I} = \ int_0 ^ \ infty e ^ {- x ^ 2} \, dx; [/ math]

luego

[matemáticas] \ text {I} ^ 2 = \ int_0 ^ \ infty \ int_0 ^ \ infty e ^ {- (x ^ 2 + y ^ 2)} \, dy dx [/ math]

[matemáticas] \ text {I} ^ 2 = \ int_0 ^ {\ pi / 2} \ int_0 ^ \ infty re ^ {- r ^ 2} \; dr d \ theta [/ math]

[matemáticas] \ text {I} ^ 2 = \ int_0 ^ {\ pi / 2} (- \ frac {1} {2} e ^ {- r ^ 2}) \ mid_0 ^ \ infty \; d \ theta [ /matemáticas]

[matemáticas] \ text {I} ^ 2 = \ int_0 ^ {\ frac {\ pi} {2}} \ frac {1} {2} \; d \ theta [/ math]

[matemáticas] \ text {I} ^ 2 = \ frac {\ pi} {4} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ text {I} = \ frac {\ sqrt {\ pi}} {2} [/ matemáticas] (ya que I> 0).

Por lo tanto, la integral original es igual a [math] \ frac {\ sqrt {\ pi}} {4}. [/ Math]

[matemáticas] I = \ int_0 ^ \ infty x ^ 2 e ^ {- x ^ 2} dx [/ matemáticas]
[matemáticas] I ^ 2 = \ left (\ int_0 ^ \ infty x ^ 2 e ^ {- x ^ 2} dx \ right) \ left (\ int_0 ^ \ infty y ^ 2 e ^ {- y ^ 2} dy \ right) [/ math]

¡Según el teorema de Tonelli, podemos jugar con esta integral como queramos!
[matemáticas] I ^ 2 = \ int_0 ^ \ infty \ int_0 ^ \ infty x ^ 2y ^ 2 e ^ {- (x ^ 2 + y ^ 2)} \ dx \ dy [/ math]

Ahora cambiar a coordenadas polares da:
[matemáticas] I ^ 2 = \ int_0 ^ {\ frac \ pi 2} \ int_0 ^ \ infty r ^ 5 \ sin ^ 2 \ theta \ cos ^ 2 \ theta e ^ {- r ^ 2} \ dr \ d \ theta [/ matemáticas]

[matemáticas] I ^ 2 = \ frac 1 4 \ int_0 ^ {\ frac \ pi 2} \ sin ^ 2 (2 \ theta) d \ theta \ int_0 ^ \ infty r ^ 5 e ^ {- r ^ 2} \ dr [/ math]

La primera integral es sobre un período del integrando. Es útil recordar que la función [math] \ sin ^ 2 [/ math] tiene un valor promedio de la mitad durante un período completo. Entonces esta primera integral da:
[matemáticas] \ int_0 ^ {\ frac \ pi 2} \ sin ^ 2 (2 \ theta) d \ theta = \ frac \ pi 4 [/ matemáticas]

Ahora la segunda integral:
[matemáticas] \ int_0 ^ \ infty r ^ 5 e ^ {- r ^ 2} \ dr = \ frac 1 2 \ int_0 ^ \ infty u ^ 2 e ^ {- u} \ du [/ matemáticas]

Usando la definición de la función Gamma, vemos que esta integral es:
[matemáticas] \ int_0 ^ \ infty r ^ 5 e ^ {- r ^ 2} \ dr = \ frac 1 2 \ Gamma (3) = 1 [/ matemáticas].

Entonces vemos que [matemáticas] I ^ 2 = \ frac 1 4 \ cdot \ frac \ pi 4 \ cdot 1 [/ math].

Entonces [matemáticas] I = \ pm \ frac {\ sqrt \ pi} 4 [/ matemáticas].

Pero dado que el integrando original es una función no negativa, sabemos que la integral debe ser no negativa.

[matemáticas] I = \ frac {\ sqrt \ pi} 4 [/ matemáticas]

Hay algunas respuestas geniales aquí. Déjame ofrecerte una alternativa elegante. De hecho, como algunas personas han mencionado, podemos integrarnos por partes y reducir esta integral a

[matemáticas] \ frac 1 2 \ int_0 ^ \ infty e ^ {- x ^ 2} = \ frac 1 4 \ int _ {- \ infty} ^ \ infty e ^ {- x ^ 2} [/ math]

Entonces, la pregunta es realmente sobre la evaluación de una integral gaussiana. Si observa esta integral en el plano complejo [matemática] z = x + iy [/ matemática], puede reconocer que hay un polo en el límite y, por lo tanto, debe evaluar a [matemática] \ sqrt \ pi [/ matemáticas], solo por inspección!

Explicación

Déjame mostrarte el truco. En el plano complejo, tenemos

[matemáticas] \ int _ {- \ infty} ^ \ infty e ^ {- | z | ^ 2} dz d \ bar z [/ math]

Lleva la integral al límite usando el teorema de Green

[matemáticas] \ int \ bar \ parcial f (z) dz d \ bar z = – \ frac i 2 \ oint f (z) dz [/ matemáticas]

Luego

[matemáticas] \ int _ {- \ infty} ^ \ infty e ^ {- | z | ^ 2} dz d \ bar z = – \ frac i 2 \ oint \ frac {e ^ {- | z | ^ 2}} z dz [/ matemáticas]

Pero hay un polo en [matemáticas] z = 0 [/ matemáticas], por lo que según el teorema de residuos de Cauchy, la integral es solo [matemáticas] \ pi [/ matemáticas]. Tome la raíz cuadrada para volver a la coordenada original [matemáticas] x [/ matemáticas].

Parece complicado, pero con algo de práctica esto se reduce a un ejercicio de “cacería de polos”, que le permite evaluar integrales difíciles con solo mirarlas.