¿Cómo es que [math] (P \ wedge Q) \ to R [/ math] es lógicamente equivalente a [math] (P \ to R) \ vee (Q \ to R) [/ math]?

En su ejemplo, lo primero es definitivamente cierto en un conjunto completamente ordenado, pero lo último también es cierto.

Con implicaciones, un axioma (o suposición) bastante confuso, pero sin embargo extremadamente útil, es que [matemáticas] P \ rightarrow Q [/ matemáticas] solo es falso cuando [matemáticas] P [/ matemáticas] es verdadero y [matemáticas] Q [ / math] es falso. Entonces, si [math] P [/ math] es falso, entonces, no importa qué [math] Q [/ math] sea, [math] P \ rightarrow Q [/ math] es verdadero.

Por ejemplo, la siguiente afirmación es verdadera:
“Si mi padre fuera el hombre más alto de la Tierra, yo sería Santa Claus”.
Claramente, no soy Santa Claus. Sin embargo, debido a que mi padre no es el hombre más alto de la Tierra, esta afirmación es cierta.

En el caso general de la declaración, es decir, [matemática] ((P \ wedge Q) \ rightarrow R) \ leftrightarrow (P \ rightarrow R) \ lor (Q \ rightarrow R)) [/ math], es fácil verificar que esto siempre es cierto, es decir, cuando el lado izquierdo es falso, el lado derecho también es falso, y cuando el lado izquierdo es verdadero, entonces el lado derecho también es verdadero. Simplemente haga una tabla con todos los valores posibles para [matemática] P, Q [/ matemática] y [matemática] R [/ matemática] y todas las implicaciones que necesita.

En su ejemplo específico, si [math] P [/ math] es falso, entonces [math] R [/ math] es falso. ¿Puedes ver por qué [math] (P \ wedge Q) \ rightarrow R [/ math] ahora es cierto? ¿Y puede ver por qué [matemáticas] (P \ rightarrow R) \ lor (Q \ rightarrow R) [/ math] también es cierto?

Básicamente, en general para estas afirmaciones, son verdaderas siempre que [math] R [/ math] sea verdadero, y cuando [math] R [/ math] es falso, es fácil ver que ambas [math] P [/ math ] y [math] Q [/ math] debe ser verdadero para que ambas afirmaciones sean falsas. Si cualquiera de los dos es falso, ambas afirmaciones son verdaderas.

Cuando la suposición de una implicación es falsa, la implicación misma es verdadera. ¡Tenga esto en cuenta cuando trate con este tipo de argumentos lógicos!

Las respuestas son correctas, pero quizás valga la pena centrarse en su confusión clave.

¿Implica (x <= y) (x = y)?

No, no lo hace, con el sentido habitual (matemático o inglés) de “implica”. Como dices en tu comentario: “P no implica R”.

Pero en el sentido de la lógica formal, ¡la implicación es verdadera siempre que x> = y! Es falso solo si x

El sentido habitual de “implica” es incorrecto y engañoso cuando se trata de lógica formal.

No explicaré más, ya que otras respuestas (particularmente @Angelo Fahard) ya lo han cubierto. Pero para eliminar su confusión, solo tiene que comprender este punto.

Aquí hay otra forma de verlo:

(P∧Q) → R es claramente cierto, para sus valores de P, Q y R.

Entonces, para que sea equivalente a (P → R) ∨ (Q → R), esta última expresión también debe ser verdadera (para los mismos valores de P, Q y R).

Ahora, veamos qué tiene que pasar para que sea falso. Es una declaración OR, por lo que será cierto si alguna de las partes es verdadera. Entonces, para que sea falso, tanto (P → R) como (Q → R) deben ser falsos al mismo tiempo .

Para que esto suceda, debemos tener P verdadero y Q verdadero y R falso, porque (P → R) solo es falso cuando P es verdadero y R es falso.

¡Pero esta es exactamente la misma condición para que (P∧Q) → R sea falso! Entonces las dos expresiones son de hecho equivalentes.

La confusión proviene de su lectura de → como implicación en el sentido matemático: lo que significa que hay una demostración que lleva del antecedente al consecuente alrededor de ese símbolo. Pero eso no es lo que significa en lógica, aquí solo establece una relación particular entre dos oraciones, de modo que se dice que la relación es falsa solo cuando el antecedente es verdadero y el consecuente es falso.

Para escribir la implicación en el sentido matemático, tendría que usar cuantificadores:

∀x ∀y tal que x≤y, sostiene que x = y

– lo que de hecho es claramente falso.

La proposición A-> B solo es falsa cuando A es verdadera y B es falsa.

Si la primera es verdadera y la segunda es falsa, ambas formas de expresión lógica funcionan bien. P ^ Q sería falso, así que no necesitamos probar R (entonces (P ^ Q) -> R es verdadero). La proposición de implicación es automáticamente verdadera si la hipótesis es falsa.

La segunda expresión lógica es automáticamente verdadera, por supuesto, ya que Q-> R se evaluaría como verdadera como resultado, y por lo tanto esa expresión se evalúa como verdadera.

Lo principal que debe conciliarse aquí es que tener la hipótesis falsa no implica que la implicación sea falsa.

Si hice la proposición “Si , entonces 1 = 2″, esa proposición sería 100% verdadera. Entonces podría decir “ no sucedió, y 1 no es igual a 2″. A lo que luego respondería: “No dije lo que sucede cuando no ocurre, dije qué pasa si ocurre “. Lo cual es un poco extraño, pero eso es lo que la implicación significa estrictamente.

Entonces, extendiendo esa conciliación, si la primera es verdadera y la segunda es falsa, entonces P-> R puede o no ser falso, pero Q-> R no está falsificado porque “No dije nada sobre si x = y es verdadero o falso cuando x no es> = y, dije lo que le sucede a R cuando x ES> = y “.