La aplicación de la función exponencial a ambos lados da:
[matemáticas] e ^ {2x / 3} = x ^ 2 + 2 [/ matemáticas]
Esto le da dos funciones cuyas gráficas son más familiares, y podemos verificar que la transformación conserva el número de soluciones (sobre los reales).
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[matemática] y = x ^ 2 + 2 [/ matemática] tiene un mínimo en x = 0 de 2.
[math] y = e ^ {\ frac {2} {3} x} [/ math] comienza está por debajo de 2 para [math] x \ leq 0 [/ math], pero crece más rápidamente. Por lo tanto, intercepta la parábola exactamente una vez, dándonos una solución.
Dependiendo del nivel de rigor requerido, esta explicación podría ser suficiente. Si necesita demostrar que realmente solo hay una solución, puede usar el cálculo para diferenciar:
[matemática] \ frac {d} {dx} (3 \ ln (x ^ 2 + 2) – 2x) = \ frac {6x} {x ^ 2 + 2} – 2 [/ matemática]
Esto es mayor que 0 solo para [matemáticas] 1 <x <2 [/ matemáticas]. De lo contrario, la pendiente es negativa (o cero)
En [matemáticas] x = 1 [/ matemáticas], [matemáticas] 3 \ ln 3 – 2> 0 [/ matemáticas], y en [matemáticas] x = 2 [/ matemáticas], [matemáticas] 3 \ ln 6 – 4 > 0 [/ matemática]. Por lo tanto, no hay ningún cruce por cero en esa región, lo que significa que el cruce por cero a la derecha de la región de pendiente positiva es el único.
